B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости

• Автор: Половинкина, Марина Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 121 с.

Оглавление
1 Основные понятия и обозначения. Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов

1.1 Основные понятия и обозначения

1.2 Основные факты из теории В-гиперсингулярных

интегралов

1.2.1 В-гиперсингулярные интегралы с В-гармоническими характеристиками

1.2.2 Представление В-гиперсингулярных интегралов в виде регуляризации Адамара расходящихся интегралов

1.3 Основные факты теории В-потенциалов Рисса

2 Некоторые свойства функциональных пространств

2.1 Непрерывность в целом по обобщенному сдвигу в весовом функциональном классе 1/ДП+)
2.2 Усреднения Соболева-Киприянова и плотность всюду в А(П+) множества бесконечно дифференцируемых на
Ддг функций и пространства типа Лизоркина
2.3 Обобщенное В-дифференцирование

3 Пространства В-потенциалов Бесселя
3.1 Определение В-потендиалов Бесселя и нахождение
явного вида их ядер
3.2 Свойства В-потенциалов Бесселя и их ядер
3.3 Весовые кольца Винера
3.4 Связь между В-потенциалами Рисса и Бесселя
3.5 Пространство В-потенциалов Бесселя
4 Пространство В-потенциалов Рисса
4.1 Интегральные представления обобщенных конечных
разностей и В-гиперсингулярных интегралов
4.2 Описание пространства весовых потенциалов Рисса
и“()
4.3 О модуле непрерывности (В-11)-потенциалов
4.4 Свойства весовых функциональных пространств дробной
В-гладкости Ф/’“
5 Существование слабых В-производных целого порядка от функций из пространства В-потенциалов Рисса
5.1 В-преобразование Рисса и квазириссов В-потенциал
5.2 Слабые В-нроизводные
5.3 Описание пространства (В-11)-потенциалов и(Ф/)
посредством В-производных порядка 2[ а/2 ]
6 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой и весовые классы функций
6.1 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся
характеристикой
6.2 Весовые классы функций г(Л]у)
Литература

Введение
Актуальность темы диссертации.
Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову [5]. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом (см. [13]) в первой половине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.
Разностная регуляризация расходящихся интегралов для описания бесселевых потенциалов была применена И.М. Стейном [41] в частном случае 0 < а < 2, где а — порядок потенциала, и П.И. Лизоркиным [15]—[18] в общем случае. Им же введены лиувиллевские классы дробной гладкости А“ г , получившиеся как естественное обобщение пространств бесселевых и риссовых потенциалов. Использование классов для описания пространств
потенциалов было осуществлено С.Г. Самко [32]—[38].
Л.Н. Ляхов ввел разностную регуляризацию весовых расходящихся интегралов (В-гиперсингулярных интегралов), используя сдвиги Ванштейна-Дельсарта (см. [19], [23]). Им же введены пространства В-потенциалов Рисса для случая, когда обобщенный сдвиг действует в Нп по всем переменным и дано описание пространств В-потенциалов Рисса на основе соответствующего класса гиперсингулярных интегралов [24]. Естественным образом возникает проблема использования В-гиперсингулярных интегралов, регуляризация которых основана на применении смешанных

из которой вытекает

! YZ(°)VЩ,<,)'‘o~'dS(<,) = YZ.'), |£'| = 1, (1.2.19)
ПГ() Г(о + 1)
1 = 1 4 '
2п+а-1 р 1У+|7|+с»+т р а-т
Теорема 1.2.4 [28]. При а — т — —2, —4, —6
аннигиляция
(“?*') <*> - «МЛ = 0. (1.2.20)

В остальных случаях справедливы "формулы понижения":
М = лут('В)(пГт1)(!С) (1.2.21)
(п?,уя/) Н = ЛУ(В)(и--/) (*) (1.2.22)

(и“/)(х) = I Ну) ту (|з.г+1|7|_а) ЫГ Лу, О < а < |7|.
- В-потенциал Рисса,
Г (к+Ы+А г() л =—7—Т1
р ЛГ+|7|+а+т р +
Теорема 1.2.5 Пусть /(ж) Е С1еУ(К]) и
< (1 + |ж|) ’ < (1 + ’ 11 = г’