Проблема продолжения отображений при ограничениях на градиент

• Автор: Григорьева, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 101 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3.
Глава I. Терминология и вспомогательные утверждения. 19.
Г лава II. Существование пространственно подобных
поверхностей произвольной коразмерности с заданным
краем в пространстве Минковского. 35.
Глава III. Задача о продолжении пространственно подобных поверхностей в пространствах Т и 7Т 53.
Г лава IV. Существование пространственно подобных поверхностей с заданным краем на ” идеальной” границе пространства Минковского. ;-у1 _ Г.-:.г 63.
«'Л '
Глава V. Сравнение границы дПр с евклидовой. 83.
Литература. 97.

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы. Классическая экстремальная задача геометрии и анализа - задача отыскания поверхностей наименьшей площади, натянутых на заданную кривую или подчиненных другим граничным условиям (задача Плато). Решение этой задачи в течение долгого времени представляло большие трудности. Только в 1939 году Дуглас и Радо ([20], [21],[33]) доказали первые общие теоремы существования для задачи Плато.
Многомерными вариационными задачами, связанными с задачей Плато, особенно широко стали интересоваться в 60-е годы нашего столетия. В это время появляются работы Федерера, Флеминга, Морри, Джусти, Оссермана, Ниче, Саймонса, а из отечественных - Фоменко А.Т., Тужилина A.A. [37], [17], Аминова Ю.А.[1]
В это же время начинают привлекать внимание математиков экстремальные задачи геометрии псевдоевклидовых пространств, естественным образом возникающие в теории относительности.
Среди них важной задачей классической теории относительности является задача существования пространственно подобных поверхностей произвольной коразмерности в пространственно - временном многообразии. Такие поверхности играют большую роль, поскольку они представляют собой римановы подмногообразия со свойствами, характеризующими само пространство - время (см. напр, работы Эрдли Д., Смарра Л.[25], Масдена Дж., Типлера Ф.[30]). Соответствующая вариационная задача для этих поверхностей ставится как задача на максимум площади. (Минимум площади равен нулю [19], [16].)
Первые результаты в данном направлении были получены Флаэрти [23], Бартником и Саймоном [5], Куэном [32]. В первых двух работах шла речь о разрешимости задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей

v А- ( df/dxi
i=lÖXi 1 - IV f(x)|2,
решения которого и доставляют максимум площади. В работе Куэна [32] был рассмотрен случай поверхностей коразмерности выше 1.
Однако, в отличие от евклидового случая, где трудности при решении носят в основном топологический характер, в пространстве Мин-ковского основным препятствием при решении задачи на максимум площади является необходимость доказательства непустоты класса пространственно подобных поверхностей с заданным краем. В процессе решения задачи Дирихле для уравнения (0.1) приходится дополнительно решать задачу липшицевого продолжения граничной функции навею область. Задача продолжения отображений с ограничениями на градиент возникает при попытке доказать существование параметрических пространственно подобных поверхностей с заданным краем.
Стоит отметить, что известная теорема Кирсбрауна (см. [22], теорема 2.10.43) не отражает в полной мере сути поставленной задачи, и пригодна лишь в частных случаях (например, при строгих ограничениях на граничное отображение).
До настоящего момента указанную задачу о продолжении удалось решить лишь в классе поверхностей, заданных графиком функции (Клячин A.A., Миклюков В.М. [27], [28]).
Цель работы. Целью данной работы является получение необходимых и достаточных условий существования параметрических пространственно подобных поверхностей коразмерности выше единицы с заданным краем как в пространстве Минковского, так и в некоторых лоренцевых многообразиях.
Методика исследования. В диссертации использованы методы теории сглаживания функций, модульная техника, а также техника
= 0, (0.1)

ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО ПОДОБНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ С ЗАДАННЫМ КРАЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО
Пусть R™+1 - пространство-время Минковского. Пусть D С R *, к < п - ограниченная область и пусть липшицево отображение
F (и) = (хл(и),х2(и),
задает некоторую к - мерную литшщеву поверхность М. с краем L.
Задача состоит в том, чтобы найти необходимые и достаточные условия на край L, обеспечивающие существование пространственно подобной поверхности с тем же краем.
Будем искать решение этой задачи в классе поверхностей с радиус - вектором вида:
R(u) = {xi(u),xn(u), f{u)), (2.1)
где Xi(u) - координатные функции поверхности F (и), а функция /(«) совпадает с функцией t(u) на границе области ÔD.
Последнее условие означает, что поверхности R(u) и F (и) имеют общий край L.
Введем необходимые обозначения для частных производных вектор-функции F (и) : Rk —э R"+1, которые существуют почти всюду в D в силу липшицевости поверхности,
SF (дх дхп dt диг ’ диг ’ дщ )