Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций

• Автор: Анищенкова, Надежда Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 120 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА Г. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ,

И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Некоторые вспомогательные краевые задачи типа Римана и типа Гильберта в классах аналитических и бианалитических функций
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических

функций ...’

ГЛАВА И. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
2.1. Точная постановка первой основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций
2.2. Решение задачи СД12 в общем случае
2.3. Решение задачи СЯи в вырожденном случае
2.4. Решение задачи СД12 в полувырожденном случае
2.5. Решение второй основной трехэлементной
краевой задачи типа Римана
ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
3.1. Решение задачи в общем случае
3.2. Об одном частном случае, когда задача
решается эффективно
3.3. Решение задачи в вырожденном случае
3.4. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана
для бианалитических функций в общем случае .'
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальных! работам Б.В.Боярского [11], И.Н.Векуа [12], Н.П.Векуа [13]-[14], Ф.Д.Гахова [20], Э.И.Зверовича [24], Г.С.Литвинчука [33]—[35],
Н.И.Мусхелшпвшш [40] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.
В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих. чем класс аналитических функций комплексного переменного.
Данная диссертация посвящена исследованию трехэлементных линейных краевых задач (типа Римана) в классах бианалитических функций.
Определение 0.1. Функция F(z) = U(x,y) + iV(x,y) называется бианалитической в области Т плоскости комплексного переменного z — х + iy. если она в Г имеет непрерывные частные производные по х и у до второго порядка включительно (т.е. F(c) £ С2(Т)) и удовлетворяет такі уравнению
d2F{z)/dz2 = 0, (0.1)
где d/dz = [djdx + ід/ду)/2 - дифференциальный оператор Кощи-Римана.
Действительная и мнимая части бианалитической в области Т функции F{z) = U(x,y) + iV(x, у) являются бигармоническими в этой области, т. е.
&AU(x,y) — 0 и АДУ(аг, у) = 0, д'2 д
где Д = -г-г ■+ -г-г - оператор Лапласа (см., например. [8], [201). ох1 ду
Изучение многоэлементных краевых задач для аналитических функций комплексного переменного началось с работ А.И.Маркушевича [36] и Н.П.Векуа [13]. Большой вклад в развитие теории многоэлементных краевых задач для аналитических функций внесли Б.В.Боярский [11], И.Н.Векуа [12], Р.С.Исаханов [25], Г.С.Литвинчук [33]—[35], Л.Г.Михайлов [37]—[38], K.M.Расулов [51], И.X.Сабитов [57]— [59], Н.Б.Симоненко [60], Э.Г.Хасабов [66] и др.

Одним из естественных обобщений .многоэлементных краевых задач для аналитических функций являются задачи с похожей структурой в более широких классах функций (полианалитических, ме-тааналитических и др.). Интерес к такого рода задачам в течение последних тридцати лет постоянно растет. Это связано с тем, что многоэлементные краевые задачи в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций находят приложения в таких разделах математической физики, как теория бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [12], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости и плоской теории упругости [39].
Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящены работы С.В.Левинского [30]—[32], Б. Дамяновича [69]—[70]. Однако в указанных работах рассматривались задачи так называемого треугольного вида (см., например, [50], с. 19), которые по самой постановке сводятся к решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций. Тогда как наиболее важные многоэлементные краевые задачи общего (т.е. не треугольного) вида в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам относятся следующие две трехэлементные краевые задачи.
Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = х + {у, ограниченная простым гладким замкнутым контуром X, уравнение которого имеет вид: t = х(в) + гу(з), 0 < 5 < /, где 5 - натуральный параметр. Для определенности будем считать, что начало координат принадлежит Т"ь. Через Т~ обозначим дополнение Т+ и X до полной комплексной плоскости.
Требуется найти все кусочно-биаиалитические функции Х(г) = = (Х+(2), Х_(я)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при t € X следующим краевым условиям:
Задача I.
„ „ ;дг~т „ , ,<эх-(*)
( )~ дх + п^) ~~дх~ + (:)~ ~дх~ =
^~ду ^ ду + ^ ду ~

Если же хотя бы одно из условий (1-63) или (1-67) не выполнено, то задача (1.5‘2)-(1.53) не разрешима.
Случай 3. Рассмотрим наиболее важный случай, когда выполняются следующие условия:
|С?*(£)| = 1 и Ск(Ь)С2к{Ъ) + С2к{і) = 0, і Є Ь, к— 1, 2. (1.71)
В дальнейшем числа ае* = 1п<Юк(Я (к — 1, 2) будем называть частичными индексами задачи (1.52)-(1.53). Известно [3-3], что при выполнении равенства (1.71) числа гек - четные, т.е. ае^ = 2тк.
Учитывая (1-4), а также соотношения (0.8), перепишем краевые условия (1.52)—(1.53) в следующем виде:
*ж++,г«=а, м в. м,
+*и = сш ^
(1.73)
Введем обозначения:
<9о(*) — — ^ ~ ^ (^) ■й їЯі{ї)->
= (1'74) с„(() =
Тогда краевое условие (1-72) примет вид:
Уо (*) = <2о(*)<£о (г) + (ф„(*). (1.75)
Покажем, что при выполнении условий (1.71) верны тождества:
|Со(і)| = 1 и Єо(і)ЯоУ) + (^о(і) = 0, £ Є Ь. Действительно, учитывая обозначение (1.74), будем иметь:
К?і(0|ееі;
ЬСу(і) И • &і(Я

Єо(і)Яо{і) + Я о (і) — —-=— <( —іЬ ——-------------------ь і2Оу{і)—+