Причинная обратимость относительно конуса

• Автор: Студеникин, Андрей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 130 с.

Оглавление
1. Характеры полугрупп
1.1. Определения
1.2. Характеры полугруппы К.+
1.3. Характеры конусов в М"
1.4. Теорема Кронекера для конусов в!"
2. Алгебра ограниченных мер, сконцентрированных в подполугруппе
2.1. Определения
2.2. Операторы свертки с ограниченными мерами
2.3. Свертка в алгебре ограниченных мер
2.4. Подалгебра мер, сконцентрированных в подполугруппе
2.5. Алгебра мер на подполугруппе
3. Преобразование Лапласа мер из A4S(G)
3.1. Определения
3.2. Пространство характеров алгебры Мс
3.3. Пространство характеров алгебры
3.4. Пространство характеров алгебры Л4®фас
4. Обратимость в алгебрах Mt, Х«™
4.1. Преобразование Гельфанда
4.2. Обратимость в алгебре
4.3. Обратимость в алгебре Мс
4.4. Обратимость в алгебре Л4фас
5. Причинный спектр и причинная обратимость
5.1. Определения и примеры
5.2. Алгебра причинных операторов
5.3. Причинная обратимость операторов свертки
5.4. Причинная обратимость операторов свертки в 1"
5.5. Причинная обратимость операторов свертки с мерами,
сконцентрированными на вырожденном конусе
Литература

Введение
Постановка задачи. Пусть X — некоторое банахово пространство функций, определенных на IR". В диссертации в качестве X рассматриваются пространства Лебега Lp(Mn), где 1 < р < оо или р = О, а также пространство С'0(МП) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Пусть, далее, § — некоторый конус в К”. Ограниченный линейный оператор А: X —> X будем называть причинным (относительно конуса §), если для любого t € М." и любой х Є X равенство x(s) = 0 при s Є t — § влечет равенство (Ах) (s) = 0 при s Є t—S. Причинный оператор А будем называть причинно обратимым (относительно конуса §), если обратный оператор А-1 существует и также является причинным (относительно того же конуса §). Принципиально, что, кроме тривиальных случаев, причинная обратимость не эквивалентна обычной обратимости.
Диссертация посвящена исследованию причинной обратимости относительно конуса § операторов свертки с ограниченными мерами.
Так как для причинного оператора А значения функции Ах на любом измеримом множестве Е С К" полностью определяются значениями функции х на множестве Е — S, использование таких операторов естественно при описании процессов, разворачивающихся в “многомерном времени”. Причинность соответствующего оператора эквивалентна тому, что состояние объекта в “настоящем” может зависеть от “прошлого”, но не должно зависеть от “будущего”. В частности, если в пространстве М4 рассмотреть световой конус
§ = { (ФД1Д2Д3) Є Ж4: yjtl + ff + £3 < cto },
то понятие причинности относительно § является естественной интерпретацией основного положения специальной теории относительности о том, что физические взаимодействия не могут распространяться быстрее скорости света. Интересно отметить (см., например, [7]), что скорость распространения света в кристаллах зависит от направления. В этом случае сечения аналога светового конуса не будут сферическими.
Определение причинности относительно конуса § можно переформулировать следующим эквивалентным образом. В пространстве X

рассмотрим семейство подпространств
X, — X, = { х бХ: ж(в) = 0 для всех ж £ 4 - § }, £ 6 М.п.
Ограниченный оператор А: X -» X является причинным относительно § тогда и только тогда, когда для любого 6 Г имеет место вложение
АХ, С Хг.
Отметим, что в случае X = Ьр и X = С0 все подпространства X, = Xf замкнуты. Используя этот факт, легко показать, что множество всех операторов, причинных относительно §, образует банахову алгебру — подалгебру в алгебре всех линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве X. Таким образом, причинная обратимость оператора А — это обратимость в алгебре причинных операторов. Задача исследования причинной обратимости причинного оператора А фактически является задачей описания его причинного спектра, т.е. спектра в алгебре причинных операторов.
Понятие причинности, связанное с конусом, допускает широкие обобщения. В частности, исследование процессов с “многомерным дискретным временем”, а также сама структура подпространств X, подводит к мысли о замене линейного пространства М” на произвольную локально компактную абелеву группу С. Соответственно, роль конуса в этом случае будет играть некоторая подполугруппа § группы С. Это позволяет говорить о причинности относительно подполугруппы.
Заметим, что если на группе С ввести связанную с подполугруппой § структуру частично упорядоченного множества (а <Ъ Ъ — а £ §, а, Ъ £ С), то подпространства X, будут обладать свойством
Ха Э Хъ при а <Ъ,
что позволяет рассмотреть следующее обобщение. Пусть X — банахово пространство, а Ж — частично упорядоченное множество. Семейство замкнутых подпространств Хг, Ь £ IV, назовем направлением в пространстве X, если для любых а < Ь имеет место вложение Ха Э Хъ-Оператор А: X —> X назовем причинным (относительно направления Л'<), t £ 1У, если АХ, С X,, t £ IV. Здесь причинная структура, связанная с упорядочением “по времени”, заменена на причинную структуру, связанную с произвольным частично упорядоченным множеством.

Следующий пример подчеркивает важный момент в доказательстве теоремы 19.
Пример. В пространстве М3 рассмотрим диск
Б = { (ж, у, г)еІ3:(г- I)2 + у1 < 1, г = 1 }.
Пусть § — конус, “порожденный” диском Б, а именно:
§ = {г(х,у,х): (ж, у, г) Є Б, £ > 0}.
Конус §, очевидно, замкнут. Тем не менее, ортогональная проекция конуса § на подпространство Н = {г = 0} совпадает с множеством {(0,0,0)} и { (ж, у, 0): х > 0 } и, следовательно, замкнутой не является.
Вот один из примеров применения теоремы 19.
Пример. Рассмотрим в М4 “открытый” световой конус §, а именно:
§ = {(0,0,0,0)} и | (£(цП?І2,£з) С М4: у£? + £2 + £2 < £0 |-
Единственный допустимый конус в конусе § — это Е = {(0,0,0,0)}. Очевидно, для конуса Е выполнены условия а) и Ь) теоремы 19. Следовательно, К(§) плотна в Кь(§).
В заключение приведем примеры, показывающие, что при нарушении для конуса Е хотя бы одного из условий а) или Ь) теоремы 19, утверждение теоремы, вообще говоря, не имеет места.
Пример. Рассмотрим в группе К2 конус
§ = { (ж, у) Є М2: у > 0 } { (ж, у) Є К2: у = 0, х < 0 }.
Рассмотрим также конус Е = {0}. Конус Е допустим в §, для него выполнено условие Ь) теоремы 19, но не выполнено условие а). Определим характер у конуса § естественным образом, а именно: у(0) = 1 и у(ж) = 0 при і / 0. Возьмем произвольный характер х из К(§). Так как §* = {£(0,1): £ > 0}, то х(х) = у(ж), ж Є §, где
у Є Х(Е2). При ж = «(1,0), где 5 > 0, имеем |х(ж)| = |у(ж)| = 1. Значит, ни один из элементов К(§) не лежит в окрестности П7{(1)о)}11/2(у) характера у.