Конструктивное описание пространств нерперывных функций на объединениях отрезков

• Автор: Межевич, Ксения Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 78 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение
1. Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов
2. Содержание работы
Глава 1. Полиномиальные приближения на
дизъюнктных отрезках
1.1. Построение Рп. Геометрический этап
1.2. Формулировка теоремы и начальные приготовления
1.3. Построение приближающего полинома
1.4. Оценка gn{z)—/{г)
1.5. Завершающий этап
Глава 2. Об одном классе функций на
дизъюнктной системе отрезков
2.1. Формулировка задачи и начальные приготовления
2.2. Построение Рп. Геометрический этап
2.3. Оценка уклонения gn{z)
2.4. Полином Рп и оценка разности
Глава 3. Взвешенные полиномиальные приближения
на дизъюнктной системе отрезков
3.1. Формулировка теоремы и начало доказательства
3.2. Окончание доказательства
Литература
Введение.
1. Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов.
Современная теория аппроксимации началась с теоремы П.А.Чебышева о наименьшем уклонении от нуля алгебраического полинома именно на отрезке (1854 год). После основополагающих результатов Джексона и Бернштейна начала века об описании гельдеровских классов 2/г -периодических функции скоростью их приближения тригонометрическими полиномами переход к аналогичному описанию классов Г ельдера на отрезке алгебраическими полиномами начал совершаться лишь после работы С.М.Никольского [1] 1946 года, в которой рассматривались функции /»удовлетворяющие на отрезке [-1,1] условию Липшица:
|/(х1) — /(х21 < с|х1 — Х21 и которые можно было приблизить
алгебраическими полиномами степени не более, чем п с точностью
удовлетворяющие условию непрерывности, не зависящему от точки на [-1,1], могут приближаться алгебраическими полиномами со скоростью, зависящей от точки на отрезке, что принципиально отличает ситуацию от 2/Т -периодического случая. Гипотеза
С.М.Никольского о том, что логарифмический множитель в цитированной оценке есть недостаток метода была подтверждена в
+ О —2~ . Таким образом, оказалось, что функции,

1951 году А.Ф.Тиманом [2], который доказал прямое утверждение о приближении функций из классов Гельдера алгебраическими многочленами. Его результат состоит в следующем.
функции У на отрезке [-1,1]. Тогда для п = 1,2
Затем А.Ф.Тиман [3] в 1957 году установил, что существование полиномов Рп, degРп<П, для которых справедливо неравенство
функции / г непрерывных производных и при этом г-тая производная удовлетворяет условию Гельдера порядка а. Таким образом, конструктивное описание классов Гельдера на отрезке скоростью их приближения алгебраическими многочленами было получено лишь в 1957 году. Потом последовали работы В.К.Дзядыка, в которых вместо отрезка рассматривались континуумы более общего вида. На таких континуумах удалось описать классы Гельдера функций, аналитических во внутренности соответсвующих континуумов, скоростью их приближения на границе континуума алгебраическими многочленами (как правило, подобно оценке (1) для отрезка, эта скорость зависела от точки границы). Усилия различных математиков были сосредоточены на ослаблении условий, при которых удается добиться желаемого
Теорема А [2]: Пусть /(х) имеет на отрезке [-1,1] г непрерывных производных, г = ОД
f(x)-Pn(x]<7U-x2 + п {
(1), например, для w(S) — Sa, 0 < <2 < 1, влечет существование у

где с не зависит от г1
Точка гк е при отображении <р (г) по геометрической конфигурации имеет на единичной окружности именно три образа Лк1, Акг, Акз. Пусть 8к выбрано и зафиксировано так, что дуги
28к с серединами в точках Лк, Лкз попарно не
дуга
Пусть
длины z.uk пересекаются
л: Л = 1 + h, arg Л - А>
kj,+h
< 8к |. В таком случае в малой окрестности точки гк, зависящей от дк, полагаем
ркгь
1 Итак,

2m{rk -1)!

bRß Ь
%Rß~Z,
У —1 N
—Ц j(C-er) i/M(cr)-f(rk)(z))dcT
z~Ct

Имеем
< wk((T-z),