Геометрическая топология областей голоморфности

• Автор: Немировский, Стефан Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с. : ил.

1 Продолжение функций многих комплексных переменных
1.1 Многообразия Штейна
1.2 Топология многообразий Штейна
1.3 Римановы области и проблема Леви
1.4 Оболочки голоморфности и мероморфности
1.5 Накрытия и оболочки голоморфности
1.6 Теория функций на проективном пространстве
1.7 Локально биголоморфные отображения
2 Универсальные накрытия и границы областей
2.1 Области с локально эквивалентными границами
2.2 Продолжение локальных эквивалентностей
2 3 Применение теоремы Кернера
2.4 Униформизация области со сферической границей
2.5 Приложение: гипотезы Чена и Рамаданова
2.6 Группы автоморфизмов накрытий
2.7 Соответствие границ для накрытий
2.8 Нештейновы строю нсевдовынуклые области
2.9 Случай знакопеременной формы Леви
3 Вещественные поверхности в комплексных поверхностях
3.1 Основные топологические инварианты

3 2 Двойные точки
3.3 Комплексные точки и формулы Лая
3.4 Теорема о сокращении комплексных точек
3.5 Построение штейновых окрестностей
3.6 Применение инварианта Зайберга-Виттена
3.7 Вещественные поверхности в штейновых поверхностях
3.8 Неориентируемые поверхности
4 Топология и анализ на комплексных поверхностях
4.1 Оболочки и вещественные поверхности в С2
4.2 Вещественные поверхности в СР2
4.3 Гипотеза Витушкина и теорема о связной сумме
4.4 Лемма Чирки-Хартогса и ее обобщения
4.5 Диски и строго псевдовыпуклые области
4.6 Штейновы области с Леви-плоской границей
5 Дополнения к гиперповерхностям и оболочки
5 1 Представление классов гомотопии вложениями
5.2 Топология общей аффинной гиперповерхности
5 3 Вложенные сферы и общие гиперповерхности
5.4 Полиномиальная и рациональная выпуклость
Список литературы

Одним из наиболее важных эффектов в многомерном комплексном анализе является “принудительное аналитическое продолжение” всех голоморфных функций из некоторых областей. Особый интерес представляют ситуации, в которых существование такого продолжения можно вывести из геометрических и топологических условий.
Классическим примером является теорема Хартогса, согласно которой всякая функция, голоморфная в окрестности связной замкнутой вещественной гиперповерхности в Сп, п > 2, голоморфно продолжается в ограниченную этой гиперповерхностью область. Как показал намного позже X. Кернер [64], подобное утверждение справедливо также и для многозначных аналитических функций и отображений.
Теорему Харто! са-Кернера можно применить, например, к построенным в работах С. И.Пинчука и А. Г. Витушкина многозначным продолжениям ростков I оломорфных эквивалентностей между строго псев-довыпуклыми вещественно-аналитическими гиперповерхностями. Получающееся в результате утверждение об аналитическом продолжении локальных отображений границ строго псевдовыиуклых областей оказывается точным: имеет место теорема, объединяющая многомерные' аналоги теоремы униформизации и принципа соответствия границ [89, 90].
Теорема. Пусть Ю и Ю' — строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами на многообразиях Штейна. Тогда эквивалентны следующие два условия:
1. Универсальные накрытия областей О и [У биголоморфиы.
2. Границы этих областей сШ и ОО' локально биголоморфны.
В частности, штейнова строго псевдовыпуклая область с вещественноаналитической границей тогда и только тогда голоморфно накрывается шаром, когда ее граница локально биголоморфна сфере.

Следствие 2.6.3. Пусть тт : и —>■ £> — регулярное накрытие штей-новой строго псевдовыпуклой области с С2-гладкой границей. Предположим, что многообразие V не биголоморфно шару. Тогда группа Г преобразований скольжения этого накрытия является кокомпактной решеткой в группе Ли АиДН).
Доказательство. Группа автоморфизмов АиДН) с топологией равномерной сходимости на компактах является группой Ли, поскольку многообразие и гиперболично по Кобаяси. Остается доказать, что фактор пространство Г АиДИ) компактно или, другими словами, что для любой последовательности автоморфизмов /„ Е АиД{7) найдется последовательность преобразований скольжения £ Г, для которой последовательность 7„ о /„ относительно компактна.
Пусть Феи — это фундаментальная область для действия группы Г на многообразии II. Выберем точку го € и. Для любой последовательности /„ € Аи 1(11) найдется последовательное:ь преобразований скольжения 7,, € Г, для которой 'уД/^о)) € Ф. По предложению 2.6.1 относительно компактна последовательность точек тг^Д/Д^о))) € И. Однако ограничение проекции 7г|ф : Ф —> О на замыкание фундаментальной области в и собственно, и, следовательно, последовательность точек Ъ,{/иЫ) относительно компактна в многообразии С/. Значит, последовательность отображений 7„ о /„ 6 АиДН) относительно компактна по теореме Монтеля для отображений в полные гиперболические пространства [65]. □
Пример 2.6.4. Вообще говоря, ни сама группа АиДС/), ни ее связная компонента единицы не будут компактны. Например, универсальное накрытие строю псевдовыпуклой области
П = {(г,и;)€С2|(Н-1)2 + Н2<1/4}
допускает очевидное эффективное действие группы К, накрывающее вращения (г, ю) ю (е‘(2,ш), ( е 1. Тем не менее это накрытие не биголо-