Асимптотики решений рекуррентных соотношений

• Автор: Туляков, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 236 с.

Оглавление
Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Обзор содержания диссертации

1 Асимптотика типа Планшереля—Ротаха для линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами

1.1 Введение

1.2 Описание метода и результаты

1.2.1 Постановка задачи и структура метода решения

1.2.2 Построение решений с помощью Уп

1.2.3 Базис и общее решение

1.2.4 Нахождение Уп в областях
1.2.5 Переходная зона £с (случай р=2)
1.2.6 Примеры
1.3 Обоснование результатов
1.3.1 Доказательство теоремы 1.2.1 и предложения 1.2.1
1.3.2 Доказательство теоремы 1.2.2
1.3.3 Доказательство теоремы 1.2.3
1.3.4 Доказательство Теоремы 1.2.4
1.4 Примеры (получение асимптотик)

1.4.1 Получение асимптотики многочленов Эрмита
1.4.2 Получение асимптотики многочленов Мейкснера
2 Разностные уравнения с базисами степенного роста, возмущённые спектральным параметром
2.1 Введение
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Обозначения и соглашения
2.1.3 Рекуррентные соотношения с базисами степенного роста
2.1.4 Асимптотика спектральных возмущений
2.1.5 Примеры применения теоремы 2.1.
2.2 Доказательство теоремы 2.1.
2.3 Доказательство теоремы 2.1.
2.4 Локальные асимптотики ортогональных и совместно ортогональных многочленов
2.4.1 Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности предельной точки масс меры и осцилляций веса
2.4.2 Совместно ортогональные многочлены Якоби
2.4.3 Совместно ортогональные многочлены Лагерра
3 Рекуррентные соотношения для рациональных аппроксимаций постоянной Эйлера
3.1 Введение
3.2 Связь 7-форм с рекуррентными соотношениями для <3п(1) • • •
3.2.1 Получение четырёхчленного рекуррентного соотношения для форм
3.2.2 Доказательство теоремы 3.1.
3.3 О некоторой процедуре нахождения асимптотических разложений для решений разностных уравнений
3.3.1 Доказательство теоремы 3.3.
3.3.2 Доказательство лемм
3.4 Система рекуррентных соотношений для рациональных аппроксимации# постоянной Эйлера
3.4.1 Системы рекурсий для многочленов, задаваемых формулой Родрига
3.4.2 Доказательство теорем 3.4.1 и 3.4.2
3.5 Определитель целочисленной решётки, порождённой рациональными аппроксимациями постоянной Эйлера
3.5.1 Минимальные векторы Ь и иррациональность у
3.5.2 Доказательство теоремы 3.5.
3.5.3 Оценки векторов решётки Ь и форм 7ф
Литература
В настоящей работе мы строим метод получения асимптотических разложений для базисов решений разностных уравнений (1.1) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях плоскости (п,х). Согласование ("сшивка") решений в пересечении рассматриваемых областей позволяет получить глобальную асимптотическую картину решений уравнений (1.1) в комплексной плоскости спектрального параметра х при выборе соответствующего масштаба, зависящего от п. Тем самым предлагаемый метод ориентирован на получение глобальных асимптотик решений (1.1), используя в качестве входных данных коэффициенты рекуррентных соотношений, подобно тому, как метод наискорейшего спуска для матричной задачи Римана-Гильберта (предложенный в /74/ и развитый в /75/, /73/) решает эту задачу для ортогональных многочленов, стартуя с весов ортогональности. Отметим также предшествующие работы /4/, /127/, /128/, посвящённые локальным асимптотикам решений рекуррентных соотношений.
Условия на коэффициенты рекуррентного соотношения (1.1) носят общий характер. Кроме полиномиальности по параметру х мы предполагаем их аналитичность по параметру п, и более того, в настоящей работе мы считаем их рациональными функциями от п. Рациональные коэффициенты для начальной задачи удобны тем, что они допускают разложение в асимптотический ряд с любой точностью, и нулевой ряд соответствует только 0. После получения асимптотики можно провести анализ, насколько можно возмутить коэффициенты (в каком порядке по п), чтобы главный член асимптотики остался прежним.