Операторы Лапласа и представления супералгебр Ли

• Автор: Сергеев, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 c. : ил

ГЛАВА I. ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ . . стр.8 § I. Конструкция функтора точек и его свойства . »

§ 2. Теорема Шевалле

§ 3. Алгебры Ж(0,Ы) и 2( Р(ъ))

§ 4. Гомоморфизм Хариш-Чандры

ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В

ПРОСТРАНСТВЕ ТЕНЗОРОВ

§ I. Предварительные сведения,и.вспомогательные

, конструкции

§ 2. Разложение тензорного пространства: случай,

алгебры
§ 3. Разложение тензорного.пространства:.случай ,
алгебры 0,1 ь)

Теория супергрупп и супералгебр Ли и их представлений интенсивно развивается в настоящее время. Бурное развитие этой теории вызвано многочисленными приложениями суперсимметрий в физике.
Как известно, основной задачей теории представлений является задача описания неприводимых представлений (включал их явные модели) и вычисления их характеров, С этой задачей тесно связаны задачи описания алгебр операторов Лапласа, а также алгебр инвариантных полиномов. Первой из работ в которых использовались операторы Лапласа, была работа Ф.А.Березина [і] . В ней, используя счетное семейство операторов Лапласа и выделяя их радиальные части, была получена формула для характеров невырожденных неприводимых конечномерных представлений супергруппы и(р>у)
В работе [ЗЗ] было дано обобщение идей Ф.А.Березина на простые супералгебры Ли с невырожденной формой Килинга. Выделяя класс типических представлений (т.е. тех представлений, которые однозначно определяются своим инфинитезимальным характером) и доказывая аналог теоремы Шеволле об инвариантных полиномах, автор получает формулы для характеров этих представлений. Кроме того, отмечается наличие симметризации между симметрической о обертывающей алгеброй и строится аналог гомоморфизма Хариш-Чандры. Позднее в работе [2І] было указано явное правило для симметризации и описаны алгебры операторов Лапласа важных для физических приложений супералгебр Ли малых размерностей.
Первые серьезные результаты о структуре алгебр операторов Лапласа были получены Ф.А.Березиным в серии работ [25] , [2б] , [27] , [28] [29] посвященных теории конечномерных представлений супергрупп. Особенно следует отметить работу [28] . Пусть - конечномерная комплексная супералгебра Ли с невырожден-

ной четной инвариантной билинейной формой, причем -редуктив-на у - подалгебра Картана совпадающая со своей четной частью,
IV - группа Вейля _ . Пусть кроме того #Ь- = © 0^ ,
/ • >г7
ОУ; 6 4. для всякого . Если ^ ограничение инвариантной формы на ^ ^ (Я ос, &)**(&) для 6 ^ , то теорема 3
из Г287 утверждает, что гомоморфизм ограничения индуцирует изоморфизм алгебры инвариантных полиномов на и подалгебры в
состоящей из таких полиномов, ЧТО для любого
нечетного корня об . Здесь Я)» £ ~ производная 4 по направ-о
лению вектора , а (оС) - идеал порожденный сб в 5$*)
Ввиду наличия невырожденной инвариантной билинейной формы эта теорема описывает также инвариантные элементы симметрической алгебры ^ и следовательно (ввиду наличия .симметризации) операторы Лапласа, как векторное пространство над (Т
В работе [32] выписанв последовательности операторов Лапласа через элементы канонического базиса для супералгебр Ли серии , 5£(п,,т)(1ьФ171), озр(т,2ъ) (случай супералгебр ) > 0$р(2.С,Ы) рассмотрен также в [261 ). Кроме того для этих операторов указаны тождества порядка равного размерное- • ти подалгебры Картана в терминах старших весов. Наконец в последнее время появилось большое число работ относящихся к теоретической физике (см. например [22] , [23] , [24] , [317 ) использующих диаграммы Юнга для описания представлений супергрупп Ли в тензорных пространствах. Однако, существенным недостатком этих работ является отсутствие строгих доказательств и прямой связи с симметрической группой, как это имеет место для групп Ли.
Изучению конечномерных неприводимых представлений, алгебр операторов Лапласа, алгебр инвариантных полиномов и посвящена диссертация.
Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава начинается

Глава II. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ТЕНЗОРОВ
Важной и интересной задачей теории представлений супералгебр Ли является задача построения конкретных моделей неприводимых представлений. В работах [ЗЗ], [34] для классических простых контраградиентных супеалгебр Ли были выделены неприводимые представления названные типическими. В случае когда супералгебра допускает градуировку глубины 4 были указаны реализации этих представлений в виде индуцированных модулей. В работах М » [з] неприводимые представления не являющиеся типическими реализуются как подмодули индуцированных модулей. Хорошо известно, что если ^ -классическая простая алгебра Ли, то кроме спинорных представлений все неприводимые фундаментальные представления реализуются в тензорных пространствах. В частности, в случае алгебр Ли серии А ^ и С к все неприводимые представления можно реализовать как подпредставление в тензорной алгебре тождественного представления. Г.Вейль в [8] указал явную конструкцию этих представлений. В работах Балантекина и Барса [22] , [~23] было замечено, что в пространстве тензоров фиксированного ранга, можно по аналогии с случаем алгебр Ли выделить подпространство тензоров, которые удовлетворяют определенным условиям суперсимметрии задаваемым схемой Юнга. Была высказана "гипотеза, что выделенное подпространство будет неприводимым модулем над соответствующей супералгеброй Ли. Еще раньше в работе [31] были введены градуированные перестановки и было замечено, что они коммутируют с естественным действием полной линейной супералгебры. В этой же работе, по каждой диаграмме Юнга были построены операторы проекции на соответствующее подпространство суперсимметрических тензоров.