Спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры и инвариантные подпространства

• Автор: Туровский, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 139 c. : ил

Принятые обозначения

Глава I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СВОЙСТВА

СЕМЕЙСТВ ЭЛЕМЕНТОВ БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ

1.1.Спектральные характеристики семейств элементов банаховой алгебры

1.2.Совместный спектральный радиус

Глава 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ЛИЕВЫХ

ПОДАЛГЕБР БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ

2.1 .Нильпотентные алгебры Ли

2.2.Разрешимые алгебры Ли

Глава 3. УСЛОВИЕ КЛЕЙНЕКЕ-ШИРОКОВА И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

3.1.Обобщения теоремы Клейнеке-Широкова

3.2.Условие Клейнеке-Широкова
3.3.Дифференциальные операторы в банаховых алгебрах
Глава 4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР
4.1.Триангулируемые семейства компактных операторов
4.2.Спектральные свойства и нетранзитив-ность
Литература

Основной целью данной работы является исследование спектральных вопросов семейств и множеств элементов банаховой алгебры или линейных ограниченных операторов при выполнении алгебраических и других соотношений. Часто удается представить оператор в виде многочлена от нескольких более простых операторов. Такое представление приносит пользу в задаче описания спектра в тех случаях, когда операторы связаны между собой дополнительными условиями типа перестановочности. Разные условия перестановочности влекут те или иные варианты "теоремы об отображении спектра", примером которых может служить выполнение включения
<^{р(М)) 0.1)
для семейства операторов и любых полиномов р
от 71 некоммутирующих переменных ( с"SCO. ) - спектр оператора или элемента d увитальной банаховой алгебры). Соотношение (0.1) является сравнительно грубой (хотя и полезной) формой теоремы: даже в случае коммутативного семейства /И правая часть включения (0.1) может строго включать левую. Более точные формулировки используют понятие совместного спектра. Соответствующий вариант теоремы об отображении спектра заключается в выполнении равенства
&(р( М) = р <£(М) (0.2)
где М - (Я - конечное семейство операторов (или элементов банаховой алгебры), р ~ (Aj • • -j Р*») - конечное семейство полиномов от 71 некоммутативных переменных, ^ ( /И ) - совместный спектр семейства м (являющийся компактным подмножеством

Под совместным спектром семейства М-(01Н ап) операторов, действующих в банаховом пространстве %, понимается совокупность семейств - ) Хп) комплексных чисел таких,
что из двух односторонних (левого и правого) идеалов алгебры
порожденных семейством М-А = К-,-, Ап) хотя бы один является собственным (см. определение II § 2 £1] )• Аналогично определяется совместный спектр любого (произвольной мощности) семейства элементов произвольной унитальной банаховой алгебры. Существуют и другие определения совместного спектра (для коммутативных семейств) (см. И * Ы* М • Н>-
Определенный выше совместный спектр называют также спектром Харта (см
В работах Р.Е.Харта И. М. Г*] , изучались также подмножества совместного спектра: левый и правый спектры, левый и
правый предельные спектры. В контексте теории операторов вместо термина "левый предельный . спектр" принято говорить "предельный спектр" или "аппроксимативный спектр". Это подмножество можно охарактеризовать как совокупность точек А <о ( /И ) для которых М~А имеет правый ненулевой обобщенный топологический совместный делитель нуля (представленный в обшем случае сетью элементов). Следует отметить, что определение предельного спектра в случае коммутативного счетного семейства близко к определению Ю.И.Любича спектра представления топологической абелевой группы По] . Предельный спектр конечных коммутативных семейств операторов, действующих в гильбертовом пространстве, рассматривался также в £11] . Эти две работы, по-видимому, были первыми, в которых рассматривался предельный спектр неодноэлементных (но конечных или счетных коммутативных ) семейств операторов. Обшее определение предельного спектра (годное для произвольного семейства ) в случае коммутативных семейств дано в

непрерывна. Применяя интегральную формулу Коши к аналитической функции А I—> взятую по границе круга радиуса X и с центром в точке Х0 г целиком лекашего в , и беря супремум норм по с<^А , легко получим, что Ие^ХоМ(К^^^пг Ив^а°+Хе
Отсюда мы заключаем, что функция Д /-?► / в *Л/ II М(М11субгармонична для любого уЗ ^ & . Согласно теореме Радо (см.теорему
прил.2 [51] ) функция А I ^ Род НМгУ) К субгармонична в
%) . Совершенно аналогично, используя I) и 2), можно показать, что функция А >-—^ II М(^)П// непрерывна и функция А I— ±1е^111М субгармонична в Т) для любого^
Следовательно, по теореме Радо функция А (---> ИМ(Х)пп
субгармонична в 7) (пе/У). £
Заметим, что // М а У НГЧШа)еМа?1Г% ^ИМаПГ . Следовательно, последовательность (ИМаПП „ убывает. Так как она сходится к ОС
^ А Л О К п
то последовательность ( %~п Род В г (X) /IУбывает и сходится к Род до ( /Ч (А)) . Таким образом, функция
А ~>£о €. ^ выпукла и возрастает на оси действительных чисел, то, согласно теореме I прил.2 № , функция А I—^ р( АА(А)) является субгармонической в области Ъ • Теорема доказана.
Следствие 1.10. Пусть А А - аналитические
функции, определенные в области Ъ а (Г со значениями в банаховой алгебре А , о(^ / , и / - конечное множество.
Положим М(>>)-{■■«*№ Тогда функции
А /--->р( /Ч("А))и А!—> Водр(РА(У)субта№ютчт в
Доказательство. Достаточно заметить, что условия I) и 2)