Приближения в метрике L p полиномами на системе попарно дизъюнктных отрезков

• Автор: Крашенинникова, Юлия Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Аппроксимация полиномами непрерывных функций с суммируемой в р-й степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков
1.1. Обозначения и определения
1.2. Специальное семейство континуумов М(Е;
1.3. Покрытие множества Е системой интервалов
1.4. Специальное продолжение функции
1.5. Приближающий полином, зависящий от континуума М
1.6. Основная лемма
1.7. Основная теорема первой главы
Глава 2. Альтернативная конструктивная характеристика
классов С. Л. Соболева на конечном множестве
попарно дизъюнктных отрезков
2.1. Предварительные сведения
2.2. Псевдоаналитическое продолжение функций
из классов ИГ{Е)
2.3. Характеристика класса ¥[(Е) с помощью псевдоаналитического продолжения
2.4. Некоторые вспомогательные результаты
2.5. Конструктивная характеристика классов (Е)
Заключение
Литература
Введение
Актуальность темы. Задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными играют важную роль почти во всех областях математики. Современная теория приближения функций представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа и имеет дело главным образом с приближением отдельных функций и классов функций при помощи заданных подпространств, состоящих из функций, более простых в конструктивном отношении, чем аппроксимируемые функции. Чаще всего роль таких пространств играют множества алгебраических многочленов или же (в периодическом случае) множества тригонометрических полиномов заданного порядка п.
Настоящая работа представляет собой исследование в области конструктивной теории функций. Идея конструктивного описания некоторого класса функций, учитывающего структурные свойства этого класса, заключается в получении согласующихся между собой прямых и обратных теорем приближения для данного класса. Прямой теоремой приближения принято называть всякую теорему, устанавливающую оценку отклонения в той или иной метрике данного класса функций от полиномов, в которые этот класс отображается некоторой последовательностью полиномиальных операторов. Причем существенным является вопрос, каким образом эти оценки зависят от гладкости функций данного класса и от выбранной последовательности операторов. Обратной же теоремой в теории приближения называют теорему, которая устанавливает степень гладкости класса функций в зависимости от скорости стремления к нулю его приближений. Если для некоторого класса функций совокупность прямых и обратных теорем устанавливает условия, которые являются как необходимыми, так и достаточными для принадлежности функций к этому классу, то говорят,

что прямые и обратные теоремы согласуются. При конструктивном описании классов функций скоростью полиномиальных приближений интерес представляют те прямые теоремы, в которых оценки отклонения функций данного класса от приближающих полиномов позволяют получать обратные утверждения.
В настоящий момент хорошо изучены вопросы приближения функций действительного и комплексного переменных в различных линейных нормированных пространствах. Наиболее актуальны задачи конструктивного описания в равномерной и интегральной метриках.
В теории приближений в комплексной плоскости весьма существенным является вопрос, какова общая природа множества, на котором имело бы смысл заниматься приближением функций. В 50-е годы С. Н. Мергеляном было установлено, что приближение возможно на компактах, дополнение которых не разбивает плоскость. Это дало принципиальную возможность получать прямые утверждения на несвязных множествах. С другой стороны, было показано, что и для обратных теорем условие связности множества несущественно. Однако большинство результатов в области конструктивной теории функций получено на континуумах, в то время как работ, оперирующих с несвязными множествами, достаточно мало, причем во всех этих работах исследования проводились в равномерной метрике. В свете выше сказанного, актуальными являются вопросы приближения функций в интегральной метрике на несвязных множествах.
Целью работы являлось описание классов функций, определяемых интегральной метрикой, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков скоростью их взвешенных полиномиальных приближений.

дПо)
/2 да при ш Є іїк,6 и

+ с4
— 22 1*(Ь*к) [Ь + 1к-т + і(Ь*к + кк + 1к
1 Г№
2 1„ ч
к + 1к ~ г'|2 (Ьк + + 1к —

8Тір|/*(гг)|.
при и Є П*,9, где С4 = >-
V бік
Отсюда, учитывая вид областей 0, окончательнс
д/р И _ 1 0/*(°~)
<9а> 2 да
для ш Є {ш : а*к < а < Ь*к, |т| < Ьк}
0/о*И

для а; Є {а; : а Є [а*к - Ьк,а*к) и (Ъ*к, Ь*к + Л*], |т| < кк}

+ с4
для и Є {ш : а*к < а < Ьк, Нк < |т| < кк + 1к}
<9/оН

< с4
-)]1 = г1/*(Ч)1 < С

получаем
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
для всех остальных ш Є Щ2.