Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач

• Автор: Парфенов, Антон Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 114 с.

Об обозначениях

1 Абстрактные результаты

1.1 Предварительные сведения

1.1.1 Двойственность

1.1.2 Интеграл Бохнера, обобщенные производные

и пространства Ьр(0,Т; X)

1.1.3 Теория интерполяции банаховых пространств

1.1.4 Пространства Крейна

1.2 Основные условия данной главы

1.3 Достаточные условия

1.4 Погружение и пространство-образ

1.5 Переформулировка интерполяционных условий
без помощи теории интерполяции
1.5.1 Две леммы
1.5.2 Существование сжимающего оператора
1.5.3 О перестановочности Я и
1.6 Мотивация изучения условия (1.11)
1.6.1 Оператор В
1.6.2 Построение оператора Ь
1.7 Спектральные задачи
1.7.1 Одно спектральное свойство
равномерно ./-положительных операторов
1.7.2 Соответствие А *-* Нх(А)
1.7.3 Одна специальная спектральная задача
2 Одномерный случай
2.1 Конкретизация погружения Я
2.1.1 О пространствах Соболева
2.1.2 Меры
2.1.3 Конкретизация погружения Я
2.1.4 О задачах, соответствующих нашему выбору Я

2.2 Двусторонние результаты
2.2.1 Некоторые пространства и операторы Л и ,7
2.2.2 Характеризация интерполяционного условия
2.2.3 Переформулировка условия типа Чургуса
2.2.4 Пример дискретной меры со свойством (1.11)
2.2.5 Критерий существования Б со свойствами (1)’ и (и)’
2.3 Односторонние результаты
2.3.1 Одностороннее условие
2.3.2 Одно условие на функции
2.3.3 Применение сжимающего оператора
2.3.4 Применение условия типа Чургуса
2.4 Различные замечания
'ф 2.5 Случай произвольной картины перемен знака
2.5.1 Редукция к вычислению 1(Ь,0)
2.5.2 Вычисление 1(£, <3)
3 Многомерный случай
3.1 Необходимое условие и контрпримеры
3.2 Конструкция ^-покрытия
3.3 Основная теорема
3.4 Полиномиальная аппроксимация
3.5 Доказательство леммы
3.6 Три теоремы
Литература
Об обозначениях
Буква С обозначает, если не оговорено противное, положительную постоянную, причём вопрос о том, от чего не зависит С, либо уточняется, либо оставляется на усмотрение читателя. Там, где одновременно присутствует несколько постоянных, они обычно различаются с помощью индексов, например так: С, С0, С, ..., хотя изредка мы этого не делаем. В главах 1 и 2 применяются преимущественно линейные операторы, и буква I указывает на тождественные операторы. В главе 3 буквой I обозначаются кубы в евклидовом пространстве. Область определения, область значений (образ) и нулевое подпространство (ядро) линейного оператора Т обозначаются через О(Т), И(Т’) и 1М(Т) соответственно. Пространство всех линейных непрерывных всюду определённых операторов из банахова пространства X в банахово У, наделяемое обычной операторной нормой, обозначается через Ь(Х,У), причём при X = У пишем Ь(Х,Х) = Ь(Х). Изредка для неотрицательных функций / и д / ~ д указывает на то, что < д < С2/. Для банаховых X и У непрерывное вложение X в У обозначается через X С У, а равенство X = У понимается с точностью до эквивалентности норм: || • ||х ~ || • ||х. Внутренность множества С в топологическом пространстве обозначается через С°, замыкание — через С, хотя для чисел черта сверху указывает на комплексное сопряжение. Для шара В радиуса г через аВ обозначается шар радиуса от с тем же центром; в главе 3 вводится аналогичное обозначение для кубов. Через овсд / обозначается колебание
гес/ = эир |/(х)-/(г/)|
° х,уев
функций / на множестве б. Значок □ служит признаком конца доказательства. Прочие обозначения тоже широко распространены и/или вводятся по ходу изложения. Внешние по отношению к диссертации результаты иногда формулируются в виде утверждений.
Глава 2. Одномерный случай

где и' обозначает обычную (не обобщенную) первую производную и. Эта производная существует п.в. и совпадает с обобщенной на (—1,1) {О}
Уе 6(0,1] /£- ^ 0 & 7+ ф 0, (2.14)
то выполняется (1.20) с Х0 = V С X = Е®, откуда 14 является собственным замкнутым подпространством в Е^®. В этом можно убедиться и другим способом: если справедливо (2.14), то м(0) = «(+0) = 0 для всех и € N(7?), так что можно определить граничные значения элементов / = Дм 6 Ей® формулами /' ‘ = м(0), /+ = и(+0); теперь УЛ = кег ф, где 0 ф ф € 04®)*, ф(/) = /+ - /“■
Теорема 13 Пусть п = т = 1 в условиях раздела 2.1.3 и верно (2.3). Тогда
(a) Если (2.14) не выполнено, то 14 = 714 = 14®, и имеет место (2.13).
(b) Если (2.14) выполнено, то (2.13) имеет место тогда и только тогда, когда существует оператор Р, удовлетворяющий условиям
<%) Р е 7(Е<,, Е®); Ум € 14 (Дм)- + (Ди)+ = 2м+ = 2м-;
(п) \Р\к^к < 1; (иг) Р симметричен в К.
Если р = 2, то существование оператора Р со свойствами (г)-(ггг) эквивалентно существованию оператора Б со свойствами
(V Де7(Е,Е®); УмбЕ (Дм)(—0) + (5и)(+0) = 2м(0);
(и/ 3с € (0,1) Ум 6 V || ДДм||д < с||Дм||к-;
(Ш/ Ум, V е Е (ДДм, Т1у)к = (Дм, НВи)к.
Доказательство, (а) Пусть, например, 7® = 0. Вложение 14 С 14® вытекает из Е С Е® в силу результатов раздела 1.5.2. Пусть / = Ни 6 14®, и е Е®. Существует к € Е, отличающаяся от и только на (0, е). Поскольку Дм = Дм, пространства 14 и Ей® совпадают как множества и нормы в этих пространствах эквивалентны. Отсюда Л4 = <714® = 14®- Теперь выбор [7 = 7 даёт (2.13).
(Ь) Пусть имеют место (2.14) и (2.13). Без ограничения общности можно считать, что 7x7 < 17 < 727 в К, где 0 < 7х < 72 < 2. Положим Р = 7 — {/. Оператор Р симметричен и имеет норму меньше 1 ввиду (1 — 72)7 < Р < (1 — 71)7. По причине 14 С 14® и 714 С 7ЕЙ® = Е^® он принадлежит 7(14,14®) и (Дм)- + (Ри)+ = и~ + и+ — ((11и)~ + (Пи)+) = 2и~ — 2и+ при и £ Е*. Таким образом, Р обладает свойствами (1)—(1П).
Обратно, если Р обладает свойствами (1)—(Ш), то оператор 17 = I — Р, очевидно, ограничен и положительно определён в К и принадлежит 7(14, Е?)-Для принадлежности его к 7(14,714) необходимо и достаточно, чтобы (Е/м)- + (Е/м)+ = 0 для всех м. Но это так ввиду (1). Это значит, что выполняется (2.13).
Пусть р = 2 и оператор Р обладает свойствами (1)—(Ш). Положим М® = Еф© Р4(Д) и Д_х = (Д|м®)-1- Оператор Д_х является изометрией 14® на М® С Е®,