Некоторые вопросы приближения кривых и оптимизация приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода

• Автор: Мирпоччоев, Фуркат Маруфджонович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 87 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава I. Приближение кривых на классах функций, задаваемых модулями непрерывности

§1.1. Определение классов кривых. Исторический обзор

§1.2. Приближение кривых, заданных параметрическими

уравнениями на классе кривых

§1.3. Приближение кривых вписанными в них ломаными

на классе кривых иА1,1)'/”“1’“

§1.4. Приложение оценки приближения кривых ломаными для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода
Глава II. Оптимизация приближенного вычисления криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций §2.1. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным градиентом в норме

пространства Ь

§2.2. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций с ограниченным градиентом в норме пространства 1/

§2.3. Наилучшие квадратурные формулы с весом для приближенного интегрирования криволинейных интегралов первого рода для классов функций и кривых, задаваемых модулями
непрерывности
§2.4. Наилучшие квадратурные формулы приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций
и классов кривых 9фз(Ь)
Литература

Введение
Общеизвестно, что при аппроксимации кривых более простыми функциями необходимо иметь их математическое описание. Кривые не всегда могут быть представлены явной функциональной зависимостью, а потому более общим способом аналитического задания кривых является параметрическое их представление в виде функций
х = <р(з), у = 'ф(з), 0 < в < Ь (0.0.1)
некоторого параметра .д в координатной системе Оху. В том случае, когда параметрические уравнения кривых имеют сложный вид, естественно возникает задача гладкого приближения их более простыми кривыми с высокой точностью.
Для параметрически заданных кривых экстремальные задачи аппрокси-мационного характера изучены намного меньше, чем для явно задаваемых функций. Но все же некоторые вопросы аппроксимации параметрически заданных кривых изучались в работах Н.П.Корнейчука [15,16], В.Т.Мартышока [20,21], Б.Сендова и В.А.Попова [37], Н.А.Назаренко [31,32], С.Б.Вакарчука [2-4,6], а также в известных монографиях Б.Сендова [38] и Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко [11], где приведены порядковые оценки погрешности аппроксимации различными сплайнами. Поэтому естественно возникает экстремальная задача нахождения точных оценок аппроксимации параметрически заданных кривых в различных метриках на классах функций. В качестве аппарата приближения нами использованы интерполяционные ломаные. Одним из возможных приложений полученных результатов является отыскание точных оценок погрешности приближенного вычисления криволи-

Is ~ 41 < L/(2N), а так как P(s£) принадлежит также кривой G £ 7*Wb“2, то мы имеем
inf{/93(P(s),Q(s); Ддг) : Q(s) £ G} < p3(P(s), P(sk); AN) <
< |2(s) - M4) < Wl(ls - 41) + W2(|s - 41) <
< Wl(L/(2N)) + oj2(L/(2N)). (1.2.9) Аналогичным образом получим
in{{p3(P(s),Q(s)-AN) : P(s) £ Г} < p3(Q(s), Q(sfc); AN) <
< |v>i(s) - -01 (4)1 + M4 - M4) < ^i(ls - 41) + ^2(|s - 41) <
< w1(L/(2Ar)) + cj2(L/(27V)), (1.2.10)
причем знак равенства в неравенствах (1.2.9) и (1.2.10) будет иметь место для тех же кривых Го, G0 £ ТШиШ2 с координатными функциями (1.2.6), а это означает, что
inf^T^; An) = р3,я(Ти'1'“2;Алг) = ul(L/(2N)) + u2{L/{2N)).
Этим же методом доказываются два других равенства в утверждении теоремы 1.2.1, чем и завершаем доказательство.
Замечание. Отметим, что значение р2,я(Г, G), когда G - есть интерполяционная ломаная интерполирующей кривой Г в N точках sk — kL/N, ранее было получено в работе В.Т.Мартынюка [20].
Зафиксируем разбиение отрезка [0, Ь:
ÖN := {0 = s0 < si < ••• < sjv = L}, hk = sk - sk-, k = l,N (1.2.11)
и обозначим через 1(Т,0^)- ломаную, совпадающую с кривой Г в точках Мк = M(x(sk),y(sk)), к = 0, N, линейную между точками интерполяции.