Приближения решений одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений

• Автор: Губайдуллина, Рената Камилевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
I. Приближенные методы вычисления слабосингулярных интегралов и решения интегральных уравнений
§1. Вспомогательные сведения
§2. Кубатурные формулы
§3. Теоремы существования и единственности решения
§4. Итерационные методы
§5. Общий проекционный метод Галеркина
§6. Проекционно-итеративные методы
§7. Метод механических кубатур решения слабосингулярного
интегрального уравнения с фиксированной особенностью
§8. Метод механических кубатур решения слабосингулярного
интегрального уравнения с подвижной особенностью
§9. Метод наименьших квадратов
II. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Михлина-Трикоми-Жиро
§10. Достаточные условия существования и единственности
решения
§11. Итерационные методы
§12. Проекционный метод
§13. Проекционно-итеративные методы
Литература

Введение
В диссертационной работе рассматриваются вопросы теоретического обоснования итерационных и прямых методов решения классов сингулярных интегральных уравнений с полярным ядром и ядром Михлина-Трикоми-Жиро, а также их однозначной разрешимости. Под теоретическим обоснованием приближенных методов, согласно Л. В. Канторовичу и Б. Г. Габдулхаеву, понимается следующий круг задач: а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости; г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.
Почти одновременно с фредгольмовской теорией интегральных уравнений с непрерывным, или, по крайней мере, ограниченным, ядром появились известные работы Гильберта и Пуанкаре, в которых изучались сингулярные интегральные уравнения (с.и.у.), т.е. такие уравнения, в которых интеграл расходится в обычном смысле и должен быть понимаем в смысле его главного значения по Коши. Существует два существенных отличия с.и.у. от уравнений Фредгольма. Во-первых, входящие в с.и.у. сингулярные интегральные операторы, задаваемые сингулярными интегралами (с.и.), не являются вполне непрерывными операторами в соответствующих функциональных пространствах, хотя и могут быть ограниченными. Следовательно, к таким с.и.у. не применима теория Фредгольма - Рисса - Шаудера. Во-вторых, для них приходится различать случаи одной и нескольких независимых переменных, так как перенесение полученных в одномерном случае результатов на случай двух и более независимых переменных оказывается трудно разрешимой задачей. Наряду с с.и.у. исследовались и, так называемые, слабосингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.), которые, как показал С. Г. Михлин,

подчиняются теории Фредгольма в ряде функциональных пространств, но с точки зрения реализации на практике ведут себя как сингулярные.
Глава I диссертации посвящена исследованию методов приближенного решения с.с.и.у
где £> - круг единичного радиуса с центром в начале координат, х = (Т1,Т2), у = (уъУъ) - его точки, г(х,у) = х - у - евклидово расстояние между точками х и у, Н(х,у),а(х) - непрерывные, а /(х) -квадратично-суммируемая (возможно с весом) в круге И данные функции соответственно, и(х) - искомая функция.
К решению таких уравнений приводит ряд прикладных задач, в частности, контактные задачи теории упругости, трехмерные задачи теории упругости для тел с разрезами, задачи об определении стационарных температурных полей в телах с инородными включениями, задачи об определении концентрации напряжений в телах, содержащих
Впервые исследования по многомерным слабосингулярным интегралам (с.с.и.) с полярным ядром, т.е. интегралам вида
появились в работах Ф. Трикоми [110], [111], а наиболее значительные результаты по многомерным сингулярным интегралам (с.и.) и интегральным уравнениям вида
были получены С. Г. Михлиным в работах [57] - [65] и опубликованы в систематизированном и несколько дополненном виде в его монографии [66].
х € Д 0 < а < 2, (0.1)

трещины (см., напр., [1], [41], [42], [54], [73], [85], [106]).
х € 12 С КД 0 < а < га,

Аи = а(х)и(х) +

' = /(х), 1£йс

(0.2)
д, коэффициенты которых являются произвольными непрерывными функциями относительно переменной г;
Ej(u]6)c = (г), 9)с - наилучшее равномерное приближение
функции й(г, в) тригонометрическими полиномами порядка не выше д по переменной в при произвольно фиксированном г.
Лемма 9. Для любой функции и € C(D) равномерно относительно п — 1,2
\й-Pnmü\2,q < 2Ä'i mn Ul + s)En_hx(ü;r)c + {2-s)El> (щв)с}-, (1.11)
se[0;l] J
||ü - РптЩс < 1 + К2П1+1/2 ln j
• xain{(l + s)£7n_il0o(ü;r)c + (2-s)£ (ü;ö)c|, (1.12)
s€[0;l] >
где fi - целая часть числа (m — l)/2, q = g(r) = r1_“, а K и K2 -постоянные из леммы 5.
Доказательство. Рассмотрим тождество
U PnmU {и Unm) Рат{и Unrrif, (1.13)
где Ttnm - произвольный двумерный многочлен вида

Unmij') $) = " ) CjjZj;(r) Ajv/(0 0j), Cfcj € R,
fc=l j=l
степени (n — 1, [(m — 1)/2]), построенный по системе узлов {(г*, 0*)}. Тогда, с учетом леммы 5, из (1.13) следует, что
|| Дгт||2,д || n.m||2,g Т Ц-РтпЦс'-чДг.д ||tt Hnm||c
<2Ki\ü-ünm\c. (1.14)
Пусть Qpiß) = Qß(r, в) - тригонометрический полином наилучшего равномерного приближения порядка не выше д = [(т — 1)/2] для функции й(г, в) по переменной в. Тогда
||u 'Нготг||с| 5; Цп Qßiß') ЦсТЦСДД Ппто||с EU+WQM