Приближение с ограничениями индивидуальных функций и экстремальные задачи расположения точек на сфере

• Автор: Андреев, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 41 с.

Оглавление
Введение
1. Задача о минимальном дизайне
1.1. Многочлены Гегенбауэра и дизайны
1.2. Оценка снизу мощности В-дизайна
1.3. Минимальный дизайн 11 порядка на й'3
2. Задача о максимальном сферическом коде
2.1. Оценка сверху мощности г-кода
2.2. Максимальный (сое |)-код на
3. Задача об энергии, произведении
и сумме
3.1. Оценка общего случая
3.1.1. Задача об энергии
3.1.2. Задача о сумме
3.1.3. Задача о произведении
3.2. Интерполяционные многочлены Эрмита
3.3. Случай 12 точек на 512: икосаэдр
3.4. Случай 120 точек на 5'3: сферическая конфигурация Ш
3.5. Случай 196560 точек на 523: решетка Лича
Литература

Введение
Теория приближения индивидуальных функций берет начало с пионерских работ П.Л. Чебышева второй половины XIX века и до сих пор является мощным инструментом, используемым как при решении задач самой математики, так и прикладных задач. Диссертация посвящена решению старых классических задач дискретной геометрии о расположении точек на сфере с помощью экстремальных задач теории приближения индивидуальных функций с ограничениями на аппарат приближения.
Во многих экстремальных задачах расположения точек на сфере, при решении которых удается воспользоваться методами теории приближений, большую роль имеет понятие дизайна. Конечное множество точек X = {ж} С 5т”1 С Жт и весов {рк}=1 называется взвешенным сферическим дизайном порядка д, если кубатурная формула
верна для всех алгебраических полиномов /(ж) степени не выше ц (под степенью монома ж“ = ж“1 ... ж“р понимается сумма показателей «! + ... + схт). Множества являющиеся дизайнами представляют большой интерес, так как кубатурные формулы находят большое применение в вычислительной математике и во многих других областях. Кроме того, дизайны оказываются решением многих задач об экстремальных расположениях точек на сфере. В диссертации рассматривается случай положительных весов: р*, > О, к = 1
Основная задача состоит в нахождении множеств X и весов {рк}%=1 для которых выполняется (1). Особый интерес представляют множества X содержащие минимальное количество точек, необходимое для

выполнения (1). Такие множества называются минимальными взвешенными сферическими дизайнами. Отдельный интерес представляет случай равных весов — кубатурные формулы Чебышевского типа. В этом случае употребляются термины дизайн и минимальный дизайн.
Простейший минимальный сферический дизайн — две противоположные точки сферы б™-1 являющиеся минимальным дизайном первого порядка. Примерами дизайнов являются вершины правильных многогранников. Так правильный симплекс вписанный в сферу 5т_1 (множество из т + 1 точки с равными попарными расстояниями, рис. 1) является минимальным дизайном 2 порядка для любого га. Октаэдр вписанный в сферу (множество точек пересечения 5'т~1 с координатными осями, рис. 2) является минимальным дизайном 3 порядка на сфере любой размерности. Вершины икосаэдра (рис. 3) образуют минимальный дизайн
порядка 5 на 52. В то же время вершины куба и додекаэдра являясь дизайнами соответственно 3 и 5 порядка не являются минимальными. Все вышеперечисленные минимальные дизайны являются минимальными и в классах взвешенных дизайнов соответствующих порядков. В общей ситуации это не всегда так: минимальный дизайн 5 порядка на 5'3 с равными весами содержит 24 точки, в то же время существует [1] взвешенный дизайн 5 порядка содержащий 23 точки.
Простейшими квадратурными формулами на отрезке — формулой прямоугольника, формулой трапеций, формулой Симпсона — математики пользовались с давних времен. К. Гаусс построил квадратурную формулу на отрезке из N узлов и весов, точную для алгебраических

Так как и>(Ь) 0 при £ € [—1,1], то
‘е[-1'11’
что и требуется в условии 1, участвующим в определения класса У (4).
Подставляя значения ко = 65869/79200 и к{ 1) = 1631/165 в (3.1) и пользуясь оценкой (3.2) получаем
]¥(4,120) 10790.
Оценка снизу совпадает с оценкой сверху, что и доказывает теорему 3.7 для случая энергии.
Те же самые выкладки проводятся для й'(24,196560) и Р(24,196560). Экстремальный полином определяется как интерполяционный полином Эрмита интерполирующий функцию д/2(1 — <) или 1п /2(1 — к) соответственно, в скалярных произведениях сферической конфигурации Ш. При этом коэффициенты разложения интерполирующего полинома по полиномам Гегенбауэра оказываются отрицательными, а знак неравенства меняется на обратный. Теорема доказана.
3.5. Случай 196560 точек на 523: решетка Лича
Пусть т = 24, N — 196560. Как будет показано ниже в этом случае экстремальной конфигурацией во всех трех рассматриваемых задачах являются концы минимальных векторов решетки Лича
Проведем построение решетки Лича А, следуя [6]. Рассмотрим двоичный код Голея (Г24: слова длины 24, получаемые всевозможными сложениями (1+0=1, 0+0=0, 1+1=0) строчек порождающей матрицы
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1