Аффинные системы функций и фреймы в банаховом пространстве

• Автор: Терехин, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 230 с.

Введение
Вопросы представления функций рядами составляют одну из центральных областей математического анализа. Общая задача о представлении может быть сформулирована следующим образом.
Пусть дана система функций указан класс функций Р, при
этом, как правило С Р, и выбран определенный тип сходимости
Т последовательностей функций из класса П.
Тогда для любой функции / € Р требуется найти такую числовую последовательность {з;п}£ф, что справедливо представление
ряд в правой части которого Т-сходится: / = Т — Мтп_ет хР-Рк-Несомненный интерес представляет уже тот важный частный случай, при котором класс функций Р' является банаховым пространством и Т-сходимость суть сходимость по норме пространства Р
Каждое конкретное положительное решение задачи о представлении оказывается полезным хотя бы тем, что позволяет распространить некоторое свойство 5’(/) на все функции класса Р, проверив его только для функций системы , если, конечно, это свойство наследуется За-
предельной функцией.
Вопросы представления функций рядами естественным образом возникают в задачах вычислительной математики, дифференциальных уравненений и многих прикладных задачах: в теории сигналов, в задачах хранения, передачи и обработки информации и так далее.

Истоки задачи о представлении функций рядами находятся в теории ортогональных рядов, в первую очередь - в теории тригонометрических рядов, центральном разделе теории функций. Исторические сведения и многие результаты этой теории собраны в классических монографиях Бари [1] и Зигмунда [2]. Теории ортогональных рядов посвящены книги Качмажа и Штейнгауза [3], Алекеича [4], Олевского [5], Кашина и Саакяна [6].
Во второй половине XX века развитие спектральной теории несамосопряженных операторов привело к естественной задаче обобщения результатов теории ортогональных рядов на более общие системы функций. Все большее распространение стали получать более широкие по сравнению с классом ортогональных систем классы систем элементов гильбертова пространства: базисы Бари, базисы Рисса, гильбертовы и бесселевы системы, системы Рисса - Фишера.
В 1952 году Даффином и Шеффером [7], в связи с изучением негармонических рядов Фурье (т. е. рядов экспонент с непериодическим спектром), было введено понятие фрейма. Прошло несколько десятилетий, прежде чем в конце XX века фреймы стали весьма популярны во многом благодаря возникшей теории всплесков и актуальным задачам передачи изображений, теории кодирования и сжатия информации. Задолго до своего недавнего бурного развития и, даже несколько ранее работы Даф-фина, Шеффера, теория фреймов фактически во многом была развита в работах Бари [8], [9], Наймарка [10], Козлова [11]. Некоторые результаты этих работ были впоследствии переоткрыты другими авторами.
В последние десятилетия теория фреймов нашла свое отражение в монографической литературе. Фреймы упоминаются в книге Янга [12]. Подробное изложение общих сведений о фреймах имеется в монографии Добеши [13] (имеется русский перевод [14]). Семь лет тому назад опубликована монография Кристенсена [15], полностью посвященная теории фреймов и содержащая, кроме исчерпывающего изложения теоретического материала, исторические сведения, некоторые указания на практи-

ческие приложения, а также подробную библиографию. Пять лет назад опубликована книга Новикова, Протасова, Скопиной [16], где фреймы обсуждаются в контексте теории всплесков.
Фреймы тесно связаны не только с системами экспонент, но и с другими системами функций, в первую очередь с всплесками. Напомним, что всплеском называют функцию ф Е Ь2(Шс1). для которой семейство
Фьк{х) — %^2Ф(%х — к), ^2, к Е
является ортонормированным базисом пространства £2(К1“)-
Теория всплесков возникла в 80-е годы XX века. В настоящее время имеется обширная библиография по данному вопросу. Отметим здесь книги Мейера [17] ([18] - английский перевод), Добеши |13], Чуй [19] ([20] -русский перевод), Хернандеса и Вейса [21], Войтащика [22], Петухова [23], главу 7 нового издания книги Кашина и Саакяна [24] и уже упомянутую книгу Новикова, Протасова и Скопиной [16].
Известно, что как сами всплески, так и порождающие функции кратно-масштабного анализа удовлетворяют определенным весьма жестким условиям. Вопрос об аппроксимативных свойствах инвариантных относительно сдвига подпространств
Уд{ф) = эрап{Фэ,к}к€Ж*, 3 е
в пространстве ТДКД при самых общих условиях на порождающую функцию ф был изучен в фундаментальной работе де Бура, ДеВора и Рона [25]. Близкий вопрос о представляющих свойствах всплескоподобных систем {Фз,к} при минимальных условиях на порождающую функцию ф рассмотрен в работе Филиппова и Освальда [26]. Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работах Альдруби, Сана, Танга [27], Чуй, Сана [28], Буи, Лаугесена [29] - [32], Лаугесена [33], [34], Вруна [35]. Именно, объектом исследования в этих работах стали так называемые аффинные системы функций, тесно связанные с представлениями аффинной группы евклидова пространства Жсг.

телыюстей Орлича 1м (в том случае, когда порождающая функция М{€) удовлетворяет Дг-условию), пространства последовательностей Лоренца, а также некоторые их весовые аналоги, пространства со смешанными нормами и многие другие пространства (см., например, Линденштраусс, Цафрири [58]).
Каждый непрерывный линейный функционал I на модельном пространстве X однозначно определяется своими значениями {/(ед)}^ на элементах естественного базиса. Поэтому сопряженное пространство X* к модельному пространству X можно отождествить с изометрически изоморфным ему некоторым банаховым пространством У, состоящем из числовых последовательностей у = {уп}^=ъ причем
- общий вид непрерывного линейного функционала на пространстве X. Ясно, что принадлежность числовой последовательности у = пространству У равносильна конечности нормы
Этот факт дает нам возможность формально полагать ||у||у = оо в том случае, когда у <£ У.
Биортогонально сопряженная система к естественному базису {~п }п=і модельного пространства X является системой координатных функционалов 1п(х) = хп, п — 1,2,..., которой при изоморфизме X* = У соответствует система канонических ортов пространства У, которую, во избежание недоразумений, будем обозначать Система
является базисной последовательностью, т. е. образует базис в замыкании своей линейной оболочки зраіДє*}^ С У. Известно, что если пространство А" рефлексивно, то {є*}^ - базис пространства У. Кроме того, если {еп},^11 - безусловный базис пространства X и пространство У сепарабельно, то {є* - безусловный базис в У (см., например, Дэй

[59])