Квазинормированные пространства в комплексном анализе (внутренние функции, операторы сдвига, суммы Фурье)

• Автор: Александров, Алексей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 267 c. : ил

Класс квазинормировэнных пространств содержит в себе все нормированные пространства. Однако, в заглавии диссертации имеются в виду прежде всего ненормируемые пространства этого класса, т.е. те квазинормированные пространства, которые не являются локально выпуклыми.'
Нелокально выпуклые методы во многих вопросах анализа используются уже давно (едва ли не так же давно, как и локально выпуклые). Приведем несколько результатов, давно уже ставших классическими.
1. Теорема В.И.Смирнова. Интеграл Коши конечной борелев-ской меры, сосредоточенной на единичной окружности, принадле-
~ р

жит классу Харди Н при всех /> < і

2. Теорема А.Н.Колмогорова^ Оператор гармонического сопряжения есть оператор слабого типа (1,1).
3. Теорема Харди - Литлвуда, Максимальный оператор является, оператором слабого типа (1,1).
4. Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор имеет сла-бый тип (1,1) и слабый тип (р,р) при некотором Р>{ , то этот оператор является оператором сильного типа (ч~, ч,) при всех 'іеСі.Р)
Отметим, что все эти теоремы носят нелокально выпуклый характер. Однако,это обстоятельство бросается в глаза лишь в первом случае, где встречается нелокально выпуклое пространство Нр (0 < Р < і)

В формулировках трех остальных результатов неявно участI 1 '

вует слабое - пространство, которое мы будем обозначать

через с . Пространство - это множество всех измеримых функций ^(Ьгоб/.О) таких, что
II||^,о° = -Иф <+о= .
I 1,°°
В пространстве 1— естественным образом вводится топология
квазибанахова (т.е. полного квазинормированного^ пространства* 7 л1 1>
Однако пространство I с стой топологией не является локально выпуклым.
Последний четвертнії пример особенно интересен тем, что в нем ( в отличие от первых трех ) "нелокально выпуклым" является одно из условий теоремы (слабый тип (І, О ) , а заключение теоремы является "локально выпуклым", т.е. этот пример показывает, что "нелокально выпуклый" результат может быть полезен для получения "локально выпуклого". С другой стороны, можно привести большое число "локально выпуклых" результатов,
доказательства которых опираются на одну из первых трех "нелокально выпуклых" теорем. Иы ограничимся здесь только одним примером. Следующая теорема может быть выведена при помощи стандартных приемов функционального анализа из теоремы В.И. Смирнова.
Теорема (см. Г88І ). Пусть { Жги/ - последовательность
2 0* О
чисел, причем Ъ I 0СК| < + £>° . Тогда найдется функция, голоморфная в единичном круге комплексной плоскости, непрерывная вплоть до границы этого круга и такая, что
(2й)!
= ОС и.

при всех ҐІ >
Можно привести примеры и совсем недавних "чисто локально выпуклых" результатов, полученных с использованием "нелокально выпуклых" методов. С.В.Кисляков [44] доказал от-сутсшвие локальной безусловной структуры в пространстве - гладких функций на многомерном торе, используя при
этом некоторые свойства подпространств пространства І— (о<Р<і) (а именно, С.В.Кисляков доказал, что угол между пространством Нр и подпространством пространства МР , состоящим из функций с лакунарным в смысле Адамара спектром, - ненулевой). Дж.Шапиро [78] , используя технику (° < р < і)9
получил новые доказательства теоремы братьев Рисс и теоремы Бохнера об "аналитических" мерах.
Целый ряд примеров приложений "нелокально выпуклых" результатов к "локально выпуклым" дает теорема С.А.Виноградова [ЭСО , опирающаяся на теорему Л.Карлесона [2ї] о сходимости почти всюду рядов Фурье и являющаяся далеко идущим
обобщением теорем В.И.Смирнова и А.Н.Колмогорова. Особенно полезен результат С.А.Виноградова при изучении пространства всех степенных рядов, равномерно сходящихся в единичном круге.
Интерес к изучению нелокально выпуклых пространств (помимо их возможного использования в локально выпуклом анализе) диктуется еще одним обстоятельством. Довольно часто конкретные пространства, естественным образом встречающиеся в анализе, не оказываются локально выпуклыми. Здесь в первую очередь следует отметить алгебру [_ всех измеримых функций (тос{.0) на пространстве с мерой и класс В.И.Смирнова АІА з Т.Є. алгебру всех голоморфных в единичном круге функций, порожденную (в алгебраическом смысле) внешними функциями.

для всех ^6(0^4) . Осталось заметить, что (*) > (1) = ФР (а). •
§ 2. Классы Харди в абстрактной ситуации.
Пусть X - пространство измеримых функций на компакте Пространство X будем называть идеальным, если оно обладает следующим свойством:
4ё 14 & X, М1 п-в- ^
С каждым таким пространством X свяжем пространство Х/1 -Хд( {) £сЬг ^ П-В. >
И -» Оо
2) ^РІ^І

Если в X задана инвариантная относительно сдвигов метрика У , то положим
?+(о,4)= і*4 ?(0, О
где инфимум, берется по всем последовательностям ш функций из А , обладающим свойствами 1), 2). Положим
(4;$) % ~ • Ясно, что р+ - метрика на У/ .
Эта метрика полна, если полной является метрика $ . Легко
видеть, ЧТО 4) =у(о,і) всех 4^ Ха , если
пространство X “ сепарабельно.
Положим н; = ниА=і-'(А)А . Ясно, что Нд