Об аппроксимативных свойствах классических средних и арифметических средних с пропусками тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных рядов

• Автор: Леладзе, Давид Вахтангович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 120 c. : ил

ШВА I. ОБ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ СРЕДНИХ

СОПРЯЖЕННЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

§ I. Предварительные замечания

§ 2. Об аппроксимативных свойствах средних ВаллеПуссена сопряженного тригонометрического ряда
Фурье

§ 3. Об аппроксимативных свойствах средних Абеля

сопряженного тригонометрического ряда Фурье

§ 4. Об аппроксимативных свойствах средних )

рада 6[Я

ГЛАВА 2. ОБ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ СРЕДНИХ

КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ

§ I. Предварительные замечания
§ 2. Об аппроксимативных свойствах средних Чезаро И. -кратного сопряженного тригонометрического
рада Фурье
§ 3. Об аппроксимативных свойствах средних Абеля Г1 -кратного сопряженного тригонометрического
рада Фурье
ГЛАВА 3. О СУММИРОВАНИИ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧАСТИЧНЫХ
СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ
§ I. Предварительные замечания
§ 2. Суммирование средних СЦТ1 (ос;Р) ряда 6^]
в пространстве У
§ 3. Суммирование средних
ряда бкШ
в пространстве У
ЛИТЕРАТУРА

ВЕЕЩЕНИЕ
Настоящая работа посвящена изучению аппроксимативных свойств некоторых средних тригонометрического ряда Фурье в одномерном и многомерном случаях. Эти вопросы изучены в связи со свойствами гладкости функций.
Подобными вопросами занимались многие авторы и в этом направлении получен ряд важных результатов.
Пусть 6 Ц[% V]) и ряд
6[Д

к.)
является ее тригонометрическим рядом Фурье. Обозначим через бЩ сопряженный К ряд

Щ~ = У (акмпкх-вксс&
В вопросах сходимости ряды для различных
функций ведут себя различно и не всегда обладают "хорошими" свойствами. Например, хорошо известно ( [ I], стр. 412-421), что существует интегрируемая функция со всюду расходящимся рядом Фурье.
Поэтому, оказалось целесообразным рассмотреть различные методы суммирования применительно к расходящимся рядам Фурье. Основные из этих методов - методы Чезаро и Абеля. Определения средних Чезаро и Абеля даны в § I первой главы настоящей работы.
Г.Алексич [24] и А. Зигмунд [32] исследовали вопрос о скорости стремления 6^ к, где (рСУ определена
соотношением (1.1.12).
А.Д.Щербина в работе [23] указал необходимое и достаточное условие для того, чтобы

би,т(х;^ -^0
п с
при П—»сю , где среднее Валле-Пуссена j определено соотношением (1.1.9), а ^ - соотношением (1.1.10).
Некоторые авторы занимались вопросами суммируемости подпоследовательностей частичных сумм рядов Фурье. В частности, З.Зальц-вассер [31] исследовал вопрос поведения выражений вида
4г ^ 5к2(х;^)
П ы К
в смысле сходимости почти всюду.
Д.Ныомэн [26] и А.С.Байарстанова [2], [3] исследовали
вопрос поведения выражений вида

~Т7 Т. 52к(х;$) «+1 к-о
в смысле сходимости по норме пространств (С и /6.
В настоящей диссертации доказаны результаты, тесно связанные с вышеупомянутыми вопросами.
Приведем краткий обзор основных утверждений данной работы.
Диссертация состоит из трех глав. Теоремы, следствия, леммы нумеруются внутри глав - номер главы, номер параграфа, номер теоремы (соответственно, следствия, леммы). Первые параграфы в каждой главе уделены предварительным замечаниям.
В первой главе исследуются некоторые аппроксимативные свойства средних 6^(х; ряда6[-£]
и продифференцированного ряда 6^ ^ (за обозначениями см.
§ I первой главы). Они связаны с работами Г. Алексина [24],
А.В.Бфимова [б], А.Зигмунда [32], Л.В.Жижиашвили [7], П.Л.Улья-нова [21], А.Д.Щербина [23].

Еассмотрим выражение (х. + &) - Когда (x,g)e
А ВС FE (см. рисунок), тогда для малых b (jc+t,Lj_)6ABCFE
и поэтому СО j (-f j 5^£ = О (Jlfl ~Ъ~) • Если же (jc)(y_)£ EF2), то для малых t (л+Ь}<у.)6 EFE) и j- (oc+t,g_)
~ & ) ~ 0 , т.е. окончательно, СО^(^^Ъ)^о(рг ''-E.j
при Ъ—>0+.
Рассмотрим теперь выражение j(х,у+i) - §(х, )
(х, #)б/С2) , то для малых Ь + 6 f$) и
(j-i ^)с (ръ ~5~ ) . Если же ^JC,Q)EABC , то
для малых Ь (x,Q + b) 6 ABC и Х,Ц+Ь) ~ А('х,} &) ~
- Hi(jc) • &,(Vj = о . Поэтому, окончательно,
-О (ръ1 при S—»0+.
Покажем теперь, что j~ удовлетворяет (2.2.28). Пусть hn , /гб/V, с* = (c<2), с<1>0} <*3^0.
Имеем
j [F(jc*u’A+l^)
-j F(x+V,£-»J-J(jc-U,£+№;+^-W,£-i*)
(2.2.34)
где определено соотношением (1.4.4).
Справедливы следующие оценки ([9], стр. 159, (5.12)):
К№)
(2.2.35)
, Н^(6) <2-2‘36)
Сначала рассмотрим случай с* ^ < / , о<2 < У . Для удобства записи положим (п-П.
Мы можем написать
6tr*}(0,0;5)-Jj0,0)*+s ] ^(х4)х