Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций

• Автор: Охлупина, Ольга Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 118 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕСОВЫМ II ПРОСТРАНСТВАМ (0<р< +сс)
§1.1. Описание классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности

§1.2. Классы субгармонических в единичном круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым II - пространствам (О < р < +оо)
ГЛАВА II. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В ПОЛУПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖИТ
ВЕСОВЫМ Ьр - ПРОСТРАНСТВАМ (0 < р < +оо)
§2.1. Обобщение теоремы Неванлинны о представлении классов субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Ьр - пространств (0< р<+ оо)
§2.2. Обобщение одной теоремы Валирона на случай целых функций

§2.3. Обобщение теоремы Валирона на случай субгармонических функций

§2.4. Описание субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным
весом
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Субгармонические функции составляют один из важных классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.
Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф.Гартогса [45].
Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с основополагающими работами И.И.Привалова [27], [28], Ф.Рисса [50],
Р.Неванлинны [15], М.Брело [3] и других классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди них отметим, прежде всего, работы У.Хеймана [36], [46], Е.Д.Соломенцева [33], Н.С.Ландкофа [12], А.Ф.Гришина [6], Б.Я.Левина [13], B.C.Азарина [2], [42], Р.С.Юлмухаметова [41], Б.Н.Хабибуллина [48], К.Л.Аветисяна [1], А.М.Джрбашяна [47] и др.
В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий таких авторов, как У. Хейман [36], [46], B.C. Азарин [42], А.М. Джрбашян [47]. Поэтому можно сказать, что тематика диссертационной работы весьма актуальна.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.
Пусть С - комплексная плоскость, D = jz е С: |z| < l} - единичный круг на комплексной плоскости, Г - единичная окружность с центром в начале координат, C+={zeC:Imz>0} - верхняя полуплоскость комплексной
плоскости, С+р = [z е С:lmz > р > 0}.
Если G - некоторая область на комплексной плоскости, то через SH(G) будем обозначать множество всех субгармонических функций в G.

В теории субгармонических функций важную роль играет следующая теорема Ф.Рисса о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.
Если и є БН ( О), не равная тождественно —оо, то в £> существует единственная борелевская мера р, такая что и [г) допускает представление:
І£~2)
l(z)
dp(() + h(z), (0.1)
r ~CZ
где zeDr, Dr = |z :|z| Мера р является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем её назовём представляющей мерой субгармонической функции и
Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на
субгармоническую функцию и представление вида (0.1) справедливо во всей области субгармоничности функции и.
Впервые такая задача была решена в работах Р.Неванлинны [15] при условии w(z) = ln|/(z)| и И.И.Приваловым [28] в общем случае.
Для формулировки этого результата введём понятие характеристики Неванлинны для субгармонической в D функции. Пусть и е SH(D'),
и+ = max (и, 0), тогда:

Г(г,г/) = —— | и~ (rel4>yi(p.

Следуя И.И.Привалову, обозначим через А класс субгармонических в Л функций и , для которых
эир Т(г,и) < +оо . (0-2)
0<г<1
Следующее утверждение установлено в работе [28].
Класс А совпадает с классом субгармонических в О функций, допускающих представление:

к=п+х (1
I |2+2 ~()
оо гу-к{р-т 2) гк(сс+1)
М()*с£2 Д
*=„+1 (1 - г )
оо д — к(/5+-2—а—1) оо о-&(/?—л+1)
_с(12£]

*=и+1 (1-г)1 к=п+{-гУ+1 (1 -г)Р+] (1_г)а
Следовательно, потенциал С/?(г)б57/а(£)). Что и доказывает лемму, то есть и е 67Д (Л).
Доказательство теоремы 1.1.
Докажем теорему при условии, что функция гармонична в некоторой малой окрестности точки ноль. При этом и(0)> -со.
1) Необходимость. Пусть меЖа(Д). Покажем сначала, что и допускает представление:
и(г) = Ур(г) + к(г).
Рассмотрим разность и(г)-У/3(г)-к(г)и установим, что она является
гармонической функцией.
Пусть Д - круг радиуса г, 0 < г < 1. По теореме Рисса (см. [36]) для Д :
и(г) = У(г')+ |1п|<-г|еД(Д), где У(г)~ гармоническая функция в |г|<г,

|1п|-г|||Дц(Д)- субгармоническая функция, // - неотрицательная мера М.
Рисса субгармонической функции и
Преобразуем функцию 1п|д [г, С, )|:
1п|4(2’0| = 1п |Л(2’0|'
-Ар (г,С)| | |
= 1п1Т7 т- + ЩС-гу,
С~2

С~2

I2. 1п
1 /
( - Р+1
(1-й)
(г1)