Принцип ограниченности для мер

• Автор: Саженков, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 64 c. : ил

Классическая теорема Никодима о равномерной ограниченности мер (Н.Данфорд, Дж.Т,Шварц Е5]гл.1У,§9, теорема 8) утверждает, что, если Ж - семейство конечных счётно аддитивных
скалярных мер, определённых на «Г-кольце множеств 31 , поточечно ограниченное, то семейство равномерно ограниченное.

То есть из того, что для любого ос. є ЗЬ <5 и~С> I /и. СЭС) I < с>о

^ е ГЛС и
следует

ёир lju.cx.il ч +- оо .

^ а Л/ , зс. е ЗЬ

В литературе имеется немало работ, в которых она подвергается усилению в различных направлениях.
В самостоятельное направление выделились теоремы, в которых меры определены на борелевских -алгебрах топологических пространств, причём, поточечная ограниченность семейства мер требуется не на всей б'-алгебре, а лишь на части - на открытых множествах. Отправной точкой этого направления явилась
ТЕОРЕМА Дьедонне [II!] . Пусть X - компактное хаусдор-фовое топологическое пространство, ЗЬ - борелевская «Г'-алге-бра подмножеств X , М - семейство регулярных счётно аддитивных скалярных борелевских мер. Тогда, если для любого открытого множества Ы

&ир 1 {и (И)1 < + 60 ,

^ е >М *

$>и.р У м ( &)1 <+ со
Лі , Б е £5 °
В диссертации эти теоремы изучаются для конечно аддитивных

исчерпывающих мер со значениями в топологических абелевых группах, йсчерпываемость - это сходимость к нулю значений меры на любой дизъюнктивной последовательности множеств.В диссертации рассматриваются только абелевы группы.
При рассмотрении групповых мер возникает вопрос об определении самого понятия ограниченности. Для нормированных групп этот вопрос решается естественно: ограниченные множества -это множества ограниченные по норме. В работах , исследующих принцип равномерной ограниченности для мер со значениями в произвольной топологической группе, наиболее часто употребляется следующее определение ограниченности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Подмножество А топологической группы G называется ограниченным,если для любой окрестности V нуля в Сг существует натуральное число п, такое, что
А С V + . . .* V
Будем называть такие множества I-ограниченными.
В дальнейшем для обозначений множеств Ц ...+V будем
использовать символ ■+■ V, введённый Н.Бурбаки £4 ЛДля мер со значениями в нормированной группе теорема Никодима доказана Л.Древновским TI2J :
ТЕОРЕМА. Пусть С&, 11-11) - нормированная группа, Л-б^-кольцо множеств, JU - семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер на . Тогда, если для любого ос & Я
ё>ир II /» С Х)Ц <+ <=хэ ,
J4 е JU.
Sup II М fcc)// < -+- сх=>
JUBjufccefL J
Для произвольных топологических групп аналогичная теорема

доказана Р.Дарстом [9] :
ТЕОРЕМА. Пусть Сг - топологическая группа, 0{ - 6Гкольцо множеств, Л1 - семейство конечно аддитивных исчерпывающих мер г: Тогда ,если для любого сс е
множество £у^Сэс); ^ & Л1} - I-ограниченное, то множество £ ^ Сос.) : уи е Л1 , х е Я}- I-ограниченное. То есть поточечная 1-ограниченность влечёт равномерную I-ограниченность Для произвольных колец тожеств, то есть, когда Я не является б^-кольдом, приведённые выше теоремы, вообще говоря, не выполняются.
Взаимосвязь теоремы Никодима с классическими теоремами теории меры - Витали-Хана-Сакса, Орлича-Петтиса, Розенталя, Гротендика - изучается в работе [20У
В ряде работ £13,18,19.3 найдены достаточные условия на кольца множеств, при которых теоремы типа теоремы Никодима справедливы для нормированных групп или произвольных топологических групп с определением 1-ограниченности.
Определение 1-ограниченности обладает существенным недостатком - одноточечные множества могут оказаться неограниченными. Определение ограниченности, предложенное Н.Бурбаки ([3] стр.252) ,указанного недостатка не имеет.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Подмножество А топологической группы & называется ограниченным, если для любой окрестности V нуля в & суцествуют натуральное число п- и конечный набор элементов группы , . . ; , дк такие, что
А с и + (+ V)).
ь =: 1 V
В дальнейшем это свойство называем 2-ограниченностью.
Целью диссертации является получение теорем Никодима и

= X- yw f ) 6 + , _ + c V0 = V.
Таким образом, имеем непрерывность сверху аддитивной меры , а значит, и счётную аддитивность
Теорема доказана.
§2. Теорема Дьедонне
Доказанная здесь теорема позволяет получать усиления теоремы Дьедонне [111 в различных направлениях.
ТЕОРЕМА. Пусть топология группы Gr задана полунормой р , - семейство аддитивных мер J4 : СА Gr , обладающих свойствами:
(1) для любого Л е (А существует F £ *3- , Fez А такое,что
Sup £ р (рц с в)): в & йЪ, В с. А 4 F- 3 ^ i ;
(2) если {'Uh]c(zl - дизъюнктивная последовательность, то существует натуральное число пв такое, что
Р (JU ( ЬС ^ у прИ п >/ «о
Тогда, если для любого £ 2Z

£ р Гр С Ч)) : ри е ЛА3 < +
-Срсучсв)) :^е ]Ы } В<£ % 3 < +
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Под ограниченностью в доказательстве будем понимать ограниченность по полунорме /О , свойство(I)мер будем называть исчерпываемостью, свойство(2) - регулярностью. Переходя к дополнениям, легко заметить, что регулярные меры обладают свойством: для любого Л ^ существует такое, что