Теоремы Джексона в пространствах L P и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайнов

• Автор: Московский, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 92 с.

Содержание

Основные обозначения
Введение
Глава 1. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Шп) и
Гр,л(®+)
§1- Элементы гармонического анализа в евклидовом про
странстве
§2. Модули непрерывности в пространствах 1/р(Кп)
§з. Элементы гармонического анализа на полупрямой
§4. Теорема Джексона в пространствах Г2О8С), Г2,л(®ч-)
§5. Теорема Джексона в пространстве Ьр (Кп), 1 р <
§6. Теорема Джексона в пространстве Ьр>д(Е+), 1 р <
Глава 2. Экстремальные свойства дифференцируемых
функций, полиномов и сплайнов
§ 1- Сравнение перестановок дифференцируемых периоди
ческих функций и сплайнов на произвольных отрезках
§2. Сравнение перестановок тригонометрических полино
мов на произвольных отрезках
§ з. Равномерные оценки интегральных норм алгебраиче
ских многочленов
Литература
Основные обозначения

N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, К — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;
Мп = | х — (жь
тг 1/2 п
) » {х,у)=12хіуі',

Sn 1=|жЄЖп |ж|—1| — единичная евклидова сфера вЕп,шп_і
ее площадь;
Гп=[0,27г)п — гг-мерный тор;
С“ = {г = (гі
Zi Є С, і = 1
Lp{ІГ) = { / : W1 -» €
il/її? = /1/(
ж) |р dx < оо, 1 р < оо;
ІІ/ІІоо = supvrai |/(ж)| < оо,р = со >;
(/,#) = J f{x)g(x)dx
скалярное произведение в пространстве 1/2 (Мп);
ßnR — множество целых функций в Мп сферического типа Е>0;
ER(f )p = inf { ||/ - д\р | д € BnR П ip(K”) }
величина наилучшего приближения функции / G Ьр(Шп) целыми функциями сферического типа R;
f{x) = / /Ы е
г(х,у)

преобразование Фурье функции /€Й>2(ЖП);
f)P = sup || f(x + h) - f{x)\p (S > 0)
h6
модуль непрерывности функции fELp(Rn);

f{x) = —— [ /(ж + г£)сД, r>
n — 1 J

оператор среднего значения по сферам в
ь>1 №/)р= sup Mryf(y)-f(x)p
0
= sup ( —— f f f(x + r£) - f{x)p dxdi Wri-1 J J Sn~1 1"
усредненный модуль непрерывности функции /ЕЬр{Жп); ф(и) = (1 - «)4, Д гЦх) = (1-МЩД*) = jr М(мг)к/(х)

разностный оператор,
U2{S,f)p= sup \Arf(x)\p
модуль непрерывности функции /eLp(En);
D(5,R,n)p
Er{})p
/г /Л )
/еЬр(к")
Вг(6,Н,п)р= Бир —тгОг- (г = 1,2)
/£Цр(1Кп) /ф
константы Джексона в пространстве £р(Еп);
Г(х) — гамма-функция, Зд(о:) — функция Бесселя первого рода порядка Л,
т2Л+1
За(®). = 2АГ(Л + 1)-г-, л(ж) 2ЧХЛТТ) Л_2;

Наконец, следуя Х.П. Рустамову [51] в пространстве Ьр(Ш.п) определим третий модуль непрерывности. С помощью оператора обобщенного сдвига Мг определим разностный оператор Дг. Если ф(и)=(1— и)1//2, I — тождественный оператор, то положим

Д г Six) = (I - Mr)f(x) = £ (2.18)

Величину
2(6,f)p= sup ||Дг/(ж)||р (2.19)
О <г<5
назовем модулем непрерывности функции /е1/р(КП).
Уточним определение модуля непрерывности и)<2 (5,/)р при 2. Согласно (1.11), (2.10), (2.18)
/ !/2 (Аг/(®))р = (1 -Зп-Лрг)) /р(ж)5

1|Дг/||5= / (i-j„/2-i(pr))||/P||V-2dp

f(/)2 = sup f (l-}n/2-i(pr))\fp\2pn~1dp. (2.20)
0
Таким образом, согласно (2.16) и (2.20)
u.2№/)2 = 22№/)2. (2.21)
Для 1р<оо, R>0, й>0 мы можем определить три типа констант Джексона
rVr D '1
D(6, R, п)р — sup — Д ,
/еьр(К") V(<>,j)p
Di(S, R, n)p = sup (i = 1,2). (2.22)
/6LP(K") uid)J)P
Согласно (2.14) и (2.21)
D(S, R,n)p Di(S, R,n)p, (2.23)
Di(8, R,n)2 = —D2(S, R,n)2, (2.24)