Информационный колмогоровский поперечник и приложения

• Автор: Скориков, Евгений Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

1 Неравенства между поперечниками
1.1 Оценки информационных колмогоровских поперечников
1.2 Некоторые точные неравенства между поперечниками
1.3 Порядковые оценки и двойственность
1.4 Мультипликативные и аддитивные неравенства
1.5 Некоторые свойства экстремальных подпространств
2 Порядковые оценки поперечников
2.1 Порядки информационных колмогоровских поперечников конечномерных шаров
2.2 Порядки информационных колмогоровских поперечников функциональных классов
3 Приложения
3.1 Основные понятия и определения
3.2 Устойчивость решения задачи Дирихле в случае равномерной метрике
3.3 Устойчивость решения задачи Дирихле в интегральных метриках

Различные виды поперечников и копоперечников, являющиеся важными характеристиками множеств в нормированных пространствах, стали возникать и исследоваться по мере развития все более совершенных средств вычисления и появления задач о создании оптимальных средств вычисления. Как известно, для работы большинства вычислительных алгоритмов часть их исходных данных должна быть, в силу невозможности точного представления заменена некоторыми "приближенными" данными. Кроме того, исходные данные могут быть заданы с ошибкой, возникающей при измерении. Результатом работы алгоритма являются значения "аппроксимирующие" или "восстанавливающие" истинные с определенной степенью точности. Поэтому вопрос об удовлетворительной замене множества данных и множества результатов является одной из первых проблем, встающих на пути решения вычислительной задачи. Для изучения этой проблемы оказались существенными понятия поперечника и копоперечника. Исторически первые поперечники были определены Урысоном П.С.(по сути дела, как потом это стало ясно - копоперечники) [39]), Александровым П.С. [1](александровские поперечники) и Колмогоровым А.Н.[17] (колмогоровские поперечники).
В дальнейшем особые требования, предъявляемые при решении той или иной задачи, привели к введению и активному изучению этих и других поперечников, различающихся прежде всего способом аппроксимации, кодирования данных и учетом погрешности. Задача аппроксимации, в общем случае, состоит в том, что после выбора совокупности объектов Е, используемых для аппроксимации (например, конечные множества, конечномерные пространства, конечномерные компакты) и совокупности 0, используемых для аппроксимации отображений (всевозможных, линейных, непрерывных), нужно указать наилучшие или в определенном смысле удовлетворительные е 0 и X 6 Е, для которых замена исходного множества при помощи пары X) отвечает требованиям вычислительной задачи. При этом большое значение для выбора того или иного алгоритма приобретает величина получающегося поперечника. Учет погрешности измерения и погрешности вычисления накладывают определенные рамки на совокупность отображений 0 и 5.

Задача восстановления состоит в том, что после выбора К - совокупности кодировочных множеств (конечномерные пространства, конечные множества) и Ф - совокупности кодирующих отображений исходного множества в одно из множеств 1C (линейные, непрерывные, всевозможные отображения), указать наилучший, в некотором смысле, способ кодирования. То есть нужно указать пару К G 1C, <р € Ф, для которой произвольный элемент х исходного множества наилучшим (или достаточно удовлетворительным) образом восстанавливается по информации <р(х). Погрешность наилучшего алгоритма есть соответствующий колоперечник.
В ряде задач классические средства приближения и восстановления дают недостаточно точную замену исходного множества приближенным. Возникает идея для исследования подобных задач совместить аппроксимацию и восстановление. Первым этот подход использовал Темляков В. Н. [33] для получения новых методов оценок n-членных тригонометрических приближений.
В диссертации теория поперечников и копоперечников применяется для аппроксимации решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Одно из направлений применения теории копоперечников в этой области естественно возникло при исследовании асимптотического поведения бесконечномерных диссипативных динамических систем. Основной объект, который возникает в этих исследованиях, это аттракторы. Их изучение позволяет ответить на ряд вопросов принципиального характера о свойствах предельных режимов, которые могут возникать в рассматриваемой системе. В настоящее время выработаны некоторые универсальные методы и подходы, позволяющие доказывать существование и конечномерность глобальных аттракторов для широкого класса динамических систем, порождаемых нелинейными уравнениями в частных производных. Однако детально исследовать структуру аттрактора удается лишь для весьма ограниченного класса задач. В этой связи важным является вопрос об отыскании минимальных (или близких к минимальниым) множеств естественных параметров задачи, которые однозначно определяют асимптотическое поведение системы. Впервые данный вопрос рассматривался для двумерной системы Навье-Стокса в работах [44], [19], где было показано, что асимптотическое поведение решений полностью определяются динамикой первых N мод Фурье, если N достаточно велико. После этих работ подобные результаты были получены для других параметров и уравнений. В работе [43] была развита теория исследования некоторого класса бесконечномерных диссипативных динамических систем в терминах "определяющих" функционалов, являющихся искомыми параметрами, определяющими асимптотической поведение решения. При этом большое значение для выбора функционалов приобретает значение линейного копоперечника (определение будет дано позднее) некоторого вспомогательного

Будем считать, что q = q',p = р. Отметим, что 1 < q ^2 < оо.
Пусть S = {s G М" : (ar, s) ^ 1, г = 1 m}. F - множество решений задачи (s, 1) -*• sup,s G 5.
Положим = Zc{pF), Г = : A: G □„ s G S^}, где величина
/г определяется из уравнения N + К = р2'гМ, а константа С > 0 такова, что dim Г = Y^seZc(nF) ^ 10(iV + К). В силу теоремы 2.8 такие д и О существуют, при этом | £), |х р.
Как нетрудно убедиться
4(Й* £,)>4(Й?ПГ,£,)
По теореме Литтльвуда-Пэли имеем Уж G £р выполнено
FIIp
((Ei^ i2) 11s6Nn
Vf 6 r £ IM«) |2> 5] I ад«) I2,
seNn sZSfi
поэтому
<(ЖраПГ,£») >> <%(ЩпГ,1,ПГ). (2.2)
Если ж(-) G Г, то ж(-) = J2seS и« значит, при a G {а а7”}
INWIIp «°|S,|(H)(^||2<«.»)^||?)'T
2(*.0 Е
s€5^ j=l
2(o,i)
Поэтому
ж(-) £¥° , при ( ^2 I |р )” < р(р~^2~^+1Р. (2.3)
веБ»;
С другой стороны, если у{-) £ Г, то
ы,=IIЕ«« >>°|5Д(н) (Еп«0'т*1
т|:%(н)2-'?(^х;|9(адр)'. (2.4)
веЯр ]
Согласно теореме 2.11 между пространством тригонометрических полиномов Г и конечномерным пространством имеется естественный изоморфизм. Поэтому из (2.3), (2.4) и (2.2) следует
<ед?, I,)»„(И)2-о+'т-'т,.»<«+*>). (2.5)