Меры и операторы, связанные с производящими функциями экспоненциального типа в одномерном и бесконечномерном случаях

• Автор: Родионова, Ирина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 103 с.

1 Ортогональные полиномы с производящей функцией экспоненциального типа в одномерном случае
1.1 Объединяющий подход к ортогональным полиномам с
производящей функцией экспоненциального типа и их
мер ортогональности
1.2 Операторы рождения и уничтожения в одномерном случае
2 Ортогональные полиномы с производящей функцией экспоненциального типа в бесконечномерном случае
2.1 Взаимодействующее пространство Фока .7^(77)
2.2 Поля Якоби, связанные с производящими функциями

экспоненциального типа
2.3 Производящая функция
2.4 Пространство основных функций (V)
2.5 Оператор дх
2.6 Дуальное пространство (Т>)* и оператор

Литература
Теория ортогональных полиномов находится в тесной связи со многими важными областями анализа, см., например, [14, 15]. Ортогональные полиномы связаны с тригонометрическими, бесселевыми и эллиптическими функциями, с непрерывными дробями, важными проблемами интерполирования, а также встречаются в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Ортогональные полиномы играют важную роль в теории вероятностей, математической статистике и квантовой механике.
Некоторые классические системы полиномов, такие как полиномы Эрмита, Шарлье, Лагерра, Эйлера, Бернулли и Кравчука, имеют производящую функцию экспоненциального типа, т.е. вида 0(т, г) — ехр(тФ(л))/(2). В современной литературе такие полиномы называются полиномами Шеффера, а в случае, когда Ф(г) = г — полиномами Аппелля.
В 1934 году Й. Мейкснер (Л. Меіхпег) доказал, что существует в точности пять классов ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа. Это полиномы Эрмита, Шарлье, Лагерра, Мейкснера и Мейксиера Поллачека, которые ортогональны отно-

Теперь посчитаем сопряженный оператор к а+(£) на Согласно формулам (2.1.8), (2.1.9), (2.1.10), для произвольных £,(р, ф 6 V получаем:
(а+(ф®п, Ф®{п+1)фн) = (п + 1)! (И®<Рт,Ф®{п+1))^п+1Чн)
= (п + 1)! ^ [ {{£ФЖ‘РФ)®П) (х 1 тк+1|)
ап+1£Д„+1^К+11
|«гг+11
х Ц ф{)Ы-1<1<т®^(хи...,хап+11)

= (гг + 1)!
1«п|
[ ф)ф{х)йа(х) ^2 / (^)®Г(жь...,а:|ап|)
спеАг2хЫ
Д7?(жі)1Кіі_1сіс7®|а"І(х1 Х|ап|) + ?г ^2 [ ((Т)£<РФ2)
І=1 апЄА„ -/хІапІ V
П_1)) (ХЬ • • • , ХЫ) Д Г/(х«)к|-1 с/(7®|а"1(хЬ • • • , Х|ап|)
/ а„ г
= (и + 1)![ [ {£,ф)
г / Iа"!
+ П^ / ( {г}І<рф2)®{<рф)®^П~^ Л ?7(Хг)1К;1-1 С?СГ®1“"1
а„ел„ V / а„ г
= Г(п + 1){£, ^)?/>®п + гг(п + 1)(^2)^®(п_1)
Г„(П)
(2.1.11)
Здесь мы использовали то наблюдение, что новая точка может быть добавлена к петле, соединяющей г точек г различными способами.
Абсолютно аналогично (2.1.11), мы заключаем, что сопряженный оператор к а+(£), обозначаемый а“(£), содержит в своей области опре-