Обратные теоремы для приюлижения алгебраическими полиномами в хаусдорфовой метрике

• Автор: Ермаков, Анатолий Изотович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 c. : ил

ГЛАВА I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В

ТЕРМИНАХ ЕЕ НАИЛУЧШИХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ

§ I. Вспомогательные результаты

§ 2. Теорема о непрерывности почти всюду

§ 3. Теорема о непрерывности

Глава II. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В

ТЕРМИНАХ ЕЕ НАИЛУЧШИХ ХАУСДОКЮВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

ПОЛИНОМАМИ (КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ)

§ I. Тригонометрический случай

§ 2. Алгебраический случай

Глава III. О ПОВЕДЕНИИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
§ I. Вспомогательные результаты
§ 2. Оценка наибольшего "выброса" в точке
§ 3. Оценка меньшего из "выбросов" в точке
ЛИТЕРАТУРА

Работа посвящена изучению зависимости свойств ограниченных и, вообще говоря, неоднозначных функций от их скорости приближения алгебраическими полиномами в хаусдорфовой метрике.
Введем основные определения и обозначения (см. [I] - [5]). Пусть на плоскости xOij при оС = oonbi >0 задана метрика
Если Е - подмножество плоскости, то через (!(Е,б,оО обозначим £ -окрестность Е в смысле метрики р
Под хаусдорфовым bi -расстоянием между двумя компактами Ei и Е2 плоскости ftOiJ понимается величина
НДЕ,, Е,) “ ttif{е: U(Et,еД Е^ЩЕ^Д
Дополненный график F({) ограниченной (не обязательно однозначной) функции |(х) (хб[а,й) определяется как наименьшее замкнутое множество плоскости , содержащее график
этой функции и вместе с каждой парой точек (x,^2) содержащее вертикальный отрезок с концами в этих точках. Удобно считать, что график функции | совпадает с ее дополненным графиком F(f), (см. [4], с. 509), что всюду ниже и предполагается.
Хаусдорфовым о( -расстоянием между двумя ограниченными функциями | и у , заданными на отрезке Д — [и, i] называется
величина
НДМ.д)=НДРф, Рф).
Обозначим через наименьшее уклонение функции
|(х),Х6Д, от алгебраических полиномов степени не большей (г в сД- -метрике Хаусдорфа, а через НАФи Е.ф - наименьшее
уклонение 2X -периодической функции |(Х) на прямой (- оо,оо) ОТ тригонометрических полиномов порядка не большего п соответственно в оС -метрике Хаусдорфа и в равномерной метрике. Поскольку
Са.Ы) “Hf.EJ'ftt), [-1,1]),
где р=£о(/С&-а), tp(x) = |[[6-а)ж/£ +(6+№)/г],
то при приближении алгебраическими полиномами в произвольной об метрике Хаусдорфа достаточно рассматривать случай отрезка J = [-1,1]. пусть с(|^^)=кггН,ЕДЗ),с(|,о()=Ь^Еаф; O(lf) - тэта-функция Якоби с параметром Т=!К'/К, где 4 К и 2iK - примитивные периоды функции 4n.U = 3M(u,f<); Ь.(К) = ок(Кшх{^^;
О ^ i; 4 К}), НcK(i (-fc- ф)); тх{{(х)}, ^ = min{J(x)};
60 (5,|+), со(о, |’) - модули непрерывности функций |+ и соответственно;
A(§l = mcuc{
t(x.|)eCf(*)--{cx))/at Lt(x,|)==({(x) + ((x))/z.
Хаусдорфово расстояние, как отметили Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянов [5], "понятие существенно более наглядное, чем расстояние в равномерной метрике, поскольку близость двух функций в хаусдор-фовой метрике означает "визуальную" близость их графиков, их осциллограмм"
О целесообразности рассмотрения хаусдорфова расстояния в случае . приближения разрывных функций говорится, например, в работах И. [II. [21, [41 , [8] . Первые результаты, касающиеся приближения функций в хаусдорфовой метрике посредством полиномов, были получены Ел.Сендовым около двадцати лет тому назад Им, в
частности, было доказано dl. что для любой ограниченной, не обязательно однозначной, функции |(х), хбА,||Гх)|^М справедливо

Ввиду произвольности числа £ оказывается
К({,с£и ,/*(£-Мр/зеЩ,
а это и требовалось доказать.
§ 2. Алгебраический случай.
ТЕОРЕМА 5. Есж 0< Ои < I и
К (|, а', о/.) = йпг (((171- (а'^/об) - пН^С (, 3 5) / Уд ^=+о°»
то |_(оо) однозначна и непрерывна на [-сг',ог'.].
2.3. Доказательство теоремы 5. Для доказательства теоремы 5 воспользуемся леммой I, по которой в предположении, что ^Сх') и ^(эсО заданы на И = [~1, 4.1 , 0<а'< {у
И - Н^(Ц ^<о1"^иг{а 1-сг'У, ^(-П=|(ссМ), а*С+) = ^(со&-Ь>
( О ^ -Ь ^ Х") имеет место оценка:
НоС(|'г, д*, [адссоьа', Х-адссоьа']) < £(і-(а-М^У72*. (2.22)
Положим 1гЛ = ИоС Е^С|, 3) = И^ ({, Р , 0) } д(Х)=Р(х), где
Р (эеТ) - алгебраический пожном степени не большей гг наилучшего прибжжеяия функции |(х) в об-метрике Хаусдорфа. По условию теоремы 5 и на основании (2.22) имеем
=К({,а,оО = Цт. ЛйІ
< ^ (1 11-(ії)г/оО- пЙас(Г, %*, І-аіссо*а' (2< 23)
_ (Ш) - П.І-Щ , Рпі, [агссо ь а , X- агссоъ а')) =
УА. Г О*/' А Ск°
Очевидно, ЧТО множество ПОЛИНОМОВ г = равномерно ограничено на С- =>«, константой = 2 Бар {ЦСхО *. хєЗ}.
Применяя к функции | (і) лемму 8 с учетом (2.23) и переходя за-