J-диссипативные операторы и J-сжатия: инвариантные подпространства

• Автор: Гриднева, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 89 с. : ил

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

1 Инвариантные подпространства

1.1 Базовые определения

1.2 Инвариантные подпространства семейств С^-несжи-

мающих операторов

1.3 Инвариантные подпространства семейств ./-бинесжи-

мающих операторов

2 О непрерывности гамильтонианов

2.1 Постановка задачи

2.2 Вспомогательные результаты

2.3 Свойство (Б) в пространстве АД
2.4 Свойство (Ь) в пространстве /Д
2.5 Примеры
3 Гамильтоновы оператор-функции
3.1 Постановка задачи
3.2 Максимальные инвариантные подпространства ,7-ак-
кретивного оператора А: интерполяционный подход .
3.3 Непрерывность некоторых проекторнозначных
функций
3.4 Максимальные инвариантные подпространства Дак-
кретивного оператора А с регулярной полосой
3.5 Проблема диагонализации
Литература

Введение
Диссертационная работа посвящена, главным образом, исследованию одной из центральных проблем теории операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой — проблеме существования максимальных семидефинитных инвариантных подпространств. Впервые вопрос об инвариантных подпространствах для самосопряженных операторов в пространствах Понтрягина рассматривался C.J1. Соболевым [28J и Л.С. Понтрягиным [26] в связи с проблемами гидродинамики. С других позиций этот вопрос получил развитие в работах М.Г. Крейна [18], [19], И.С. Иохвидова [15], [17], Г. Лангера [25], [40], [41], P.C. Филлипса [43] и др.
Для нас отправной явилась следующая задача, порожденная работами М.Г. Крейна [18], [19]: Пусть U — {У} — коммутативное семейство J-несжимающих операторов, а £ — их общее инвариантное неотрицательное подпространство. Существует ли максимальное неотрицательное подпространство С + такое, что С + С £ + и U£ +С £ + ?
Решение этой задачи в предположении, что £ + - вполне инвариантное относительно U подпространство (т.е. V £ + — £ >, V EU), а семейство U - произвольное, еще не найдено. Предложен ряд достаточных условий, выделены специальные классы операторов, имеющих максимальные семидефинитные инвариантные подпространства, такие как:
(1) операторы в пространстве Понтрягина (см. Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов [1], I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer [39]);
(2) дефинизируемые операторы (см. Г. Лангер [25], [40], [41]);
(3) операторы с компактным "уголком" Р+АР~|^- (см. Т.Я. Ази-

зов, И.С. Иохвидов [1], М.Г. Крейн [19]);
(4) равномерно ограниченные группы операторов (см. R. Phillips [43]).
ГТпг'тя'тчнп ттптта^ ffipanrrvAjhaя мпжст бытн найдена няппи-
^ *.*.*. „ *------ я. -------—------------—ST —
мер. в монографиях Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов [1]; J. Bognar [35]; Т. Ando [31]; I.S. Iohvidov, М.G. Krcin, H. Langer [39] и обзорах Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов [2], [3].
Отметим, что во всех этих случаях накладываются условия на операторы. В частности, Р. Филлипс [43] доказал, что каждое семидефинитное инвариантное подпространство ограниченной коммутативной группы унитарных операторов допускает расширение до максимального семидефинитного инвариантного подпространства. В нашей работе предпринят другой подход, а именно: мы накладываем условия на расширяемое подпространство и доказываем результаты без ограничения на операторы.
Методы индефинитной метрики широко применяются в исследовании канонических (гамильтоновых) систем дифференциальных уравнений. Примерами тому служат работы М.Г. Крейна [20], В.И. Дергузова [10] и др. При этом особую актуальность приобретает вопрос о "диагонализации" полученных гамильтонианов, что позволяет проследить за асимптотикой решений, выделить начальные условия, при которых решения устойчивы. Проблеме условной приводимости гамильтонианов посвящен ряд работ. Среди них отметим работы: (i) W. Wasow [45]; (ii) Y. Sibuya [44]; (iii) Г.A. Курина, Г.В. Мартыненко [23], [24]; (iv) Т.Я. Азизов, В.К. Кириакиди, Г.А. Курина [4], [34].
В статьях Т.Я. Азизова, В.К. Кириакиди, Г.А. Куриной [4], [34]

гамильтониан 21 будем называть неотрицательным, если Ш — диссипативный оператор в K,J.
Точкой отправления для данного исследования послужила работа [4], в которой рассматривалась непрерывная неотрицательно гамильтонова оператор-функция со значениями во множестве ограниченных операторов. Напомним, что непрерывную функцию
21 : [0,1] —► Ь(Л) называют приводимой, если: (г) пространство Л
допускает разложение в ортогональную сумму
Л = ЛгфЛе, (2.1.4)
(и) существует непрерывная и непрерывно обратимая оператор-функция V : [0,1] —> Ь(Л) такая, что для t € [0,1] подпространства Лг и Лг являются инвариантными относительно 23(£) = П(£)_121 (£)Н(£) и, кроме того,
а(«(^|нг)сСг, а(<В(Ь)У С Сг. (2.1.5)
Здесь через Сг и С; обозначим открытую правую, соответственно левую, полуплоскости комплексной плоскости С.
Разложение пространства Л типа (2.1.4) такое, что выполнено (2.1.5) условимся называть расщеплением спектра (в этом случае оператора 25(2)).
В выше упомянутой работе Т.Я. Азизова, В.К. Кириакиди, Г.А. Куриной [4] были описаны условия, при которых непрерывная гамильтонова оператор-функция является приводимой, в частности, допускает диагональное представление относительно фиксированного фундаментального разложения. Полученные результаты мы хотели бы обобщить на случай замкнутых неограниченных гамильтонианов. Примеры показывают, что спектр таких операторов со-