Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

• Автор: Гаджиева, Зульфия Джамалдиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 103 с.

- 2 -СОДЕРЖАНИЕ

Глава I Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

§1.1 Основные свойства полиномов Мейкснера

§ 1.2 Дальнейшие свойства полиномов Мейкснера

§1.3 Дискретное преобразование Фурье-Мейкснера

§1.4 Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

§1.5 Операторы С^+гд((Г)

§ 1.6 Операторы £°+Г)(?(<Д

§ 1.7 Приближение функций на сетке {ОД, 26,...}

§ 1.8 Приближение полиномов на [0, оо)

Глава II Приближение суммами Фурье-Мейкснера

§2.1 Введение
§ 2.2 Вспомогательные результаты
§ 2.3 Оценка функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера
§ 2.3.1 Оценка функции Хп^(х) на : случай n/N < А
§ 2.3.2 Оценка функции Хп^{х) на Сг
§ 2.3.3 Оценка функции Хп^(х) на Сз и СД
Литература

ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы.
В настоящее время теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, стала бурно развиваться. Это было вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве (сетках) и их конечных разностей. В настоящей работе (главе!) вводятся в рассмотрение новые ряды по полиномам Мейксне-ра, которым, следуя работам Шарапудинова И.И.[55]-[59], мы дали название ’’Смешанные ряды” и исследуются их аппроксимативные свойства. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам. Исследования, проведенные в 1-й главе, показывают, что смешанные ряды по полиномам Мейкснера также не являются исключением в указанном смысле. Другая задача, рассмотренная в главе 2 настоящей работы, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, оо) и дискретных функций, заданных на сетке, суммами Фурье-Мейкснера. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об оценке функции Ле-

бега указанных сумм.
Объект исследования.
В работе исследуются смешанные ряды по полиномам Мейксне-ра, ортогональным на равномерной сетке, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Мейкснера.
Цель работы.
1) Построить смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.
2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.
3) Получить оценки сверху отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискретной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству 1-2,Р ■
4) Получить оценки сверху отклонения конечных разностей частичной суммы ряда от дискретной функции.
5) Получить оценки сверху функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.
Общие методы исследования.
В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.
Научная новизна.
Вводятся новые-смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке, и исследуются их аппроксимативные свойства. Главным преимуществом этих новых (’’смешанных”) рядов, по сравнению с рядами Фурье, является то, что их частичные суммы являются хорошим аппаратом для одновременного приближения дискретных функций ИЗ и их конечных разностей (разностных производных).
Практическая ценность.
Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полино-

R,(i, х,,) = (-1 Г(х + r)W J2 ^ (b+l)r {hi^yn ■ Установым отдельно связь между C^l+r q{d, х) и суммой Фурье-Мейкснера Sqin(d,x) = Sqn(d,x). Пусть
Ir,n (d, х, ç)
(-1№+Л1+,^да- (L6-4)
Поскольку в силу леммы 1.2
= р^В-«)‘(<)<л).
Ir,n{d, х, q) =
è rionii sz(-g)j( (L6-6)
Фг,п {d, x, q)
1 гг то r /
fe£+, i# 0"!h(x’,)- (L6'7)