О граничных свойствах гармонических функций

• Автор: Логунов, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Отношения гармонических функций

1.1. Основные результаты главы

1.2. План доказательства

1.3. Граничное неравенство Гарнака

1.4. Деление на гармонический полином и на гармоническую функцию

1.5. Принципы максимума и минимума для отношений гармонических функций

1.6. Доказательство неравенства Гарнака и оценки градиента для отношений гармонических функций в К

1.7. Примеры гармонических функций с обидим множеством нулей .

1.8. Заключительные замечания
Глава 2. Теорема Левинсона о повторном логарфиме и ее многомерный аналог для гармонических функций
2.1. Прием Домара
2.2. Осесимметричные гармонические функции
2.3. Доказательство теоремы
2.4. Вопрос об односторонних оценках
2.5. Приложение к универсальным рядам гармонических полиномов.
Глава 3. Тауберовы теоремы о граничном поведении положительных решений эллиптических уравнений в частных производных
3.1. Предварительные сведения и обозначения

3.2. Доказательство теоремы
3.3. Оценки функции Грина
3.4. Асимптотика плотности А-гармонической меры
3.5. Приложения асимптотической формулы для А-гармон и ческой меры
3.6. Критерий существования некасательного предела
3.7. Принцип минимальности Берлинга
Заключение
Список литературы

Введение.
Теория гармонических функций играет значительную роль в математике, физике и прикладных областях. В двумерном эвклидовом пространстве эта теория связана с комплексным анализом, средствами которого успешно развита. А в старших размерностях ситуация усложняется: отсутствует комплексное умножение и конформные отображения, играющие важную роль в двумерном случае, вопросы о нулях гармонических функций в значительной степени открыты. Из этой обширной области в диссертации затронуты следующие темы: отношения гармонических функций с общим множеством нулей, теорема Левинсона о повторном логарифме, тауберовы теоремы для положительных гармонических функций. Основные цели данной работы получение неравенства Гарпака и оценки градиента для частного гармонических функций с общим множеством нулей, доказательство многомерного гармонического аналога теоремы Левинсона, изучение граничных свойств положительных решений эллиптических дифференциальных уравнений.
Отношения гармонических функций.
В главе 1 настоящей работы изучаются частные гармонических функций, у которых совпадают множества нулей. Наш интерес к теме отношений гармонических функций мотивирован недавней работой [1], где был получен следующий результат в размерности два:
Теорема (Мангуби, 2013). Пусть миоэ/сество 7 С Во = {х : |ж| < 2} С 1К2. Положим,
= {и : В2 Я, Ли — 0, Z[u) — Л}.
И{и) обозначает множество пулей функции и.
Тогда для любых и, и £ П[/Л) частное / = и/и продолэюастся до гладкой, нигде не исчезающей (функции в Во, и существует такая постоянная Сг > 0, зависящая только от Z, что |Укдт |/|| < Сг в В.

пый гармонический полином р можно записать как рк = 1т((ж + гу)к) после замены координат. Этот полипом делит бесконечно много гармонических полиномов = 1т((ж + гу)г/1'). Если есть два гармонических полинома, один из который делит другой, можно построить гармонические полиномы и функции с одинаковым множеством нулей в некотором шаре, например, рДж, у) и Рк(х,у) + ср1к(х,у).
1.7.2. Старшие размерности
Далее мы представим несколько примеров гармонических функций с общим множеством нулей в старших размерностях, где ситуация более деликатна, и нет какой-либо общей конструкции. Очевидно, любой двумерный пример порождает пример в старших размерностях, если рассматривать функции, которые не зависят от некоторых координат. Интересны примеры, которые не сводятся к двумерным. Конструкция гармонических функций с общим множеством нулей при помощи нахождения пары гармонических полиномов, один из которых делится на другой, только сводит задачу к другой, которая не имеет хорошего ответа. Совсем неочевидно, для каких полиномов в размерности три существует бесконечное семейство гармонических полиномов с таким же множеством нулей в фиксированном шаре. Например, мы не знаем, делит ли гармоничесикй полином 1г(х, у, г) — х2 — у2 + г3 — Зх2г какие-либо другие гармонические полиномы. Вопрос о том, какие гармонические полиномы делятся на данный полипом широко известен и крайне труден, см. [37, 38]. Довольно легко построить примеры, избегая вопрос о делимости гармонических полиномов, если множество нулей простое, например, невырожденная аналитическая поверхность или объединение параллельных гиперплоскостей. Для более сложных множеств нулей пет какой-либо общей конструкции.
Пример 1. Рассмотрим произвольную вещественно-аналитическую