Применение метода параметрических представлений к исследованию экстремальных задач теории отображений

• Автор: Бер, Людмила Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 73 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Метод параметрических представлений для области с

несколькими разрезами

§ 1. Семейство областей Левнера

§ 2. Формула для г)

§ 3. Формула для г)

§ 4. Частные случаи

§ 5. Уравнения Левнера

Глава 2. Оценки коэффициентов функций класса ГУР(Д р)
§ 6. Постановка задачи
§ 7. Задача об экстремуме 1пР+(я) как задача
оптимального управления
§ 8. Оценка 1°щП
§ 9. СлучайВ = С„
Глава 3. Усиления теорем искажения
§ 10. Области с несколькими разрезами
§ 11. Области с симметрией вращения
Глава 4. Некоторые экстремальные и геометрические задачи
теории отображений
§ 12. Граница выпуклости класса
§ 13. Коэффициенты Грунского
Литература

список: основных обозначений
N - множество натуральных чисел;
С - комплексная плоскость;
5 - класс голоморфных однолистных в единичном круге функций Хг) = " + с2(/)22+ ... + ся(Д/ +
2-класс голоморфных однолистных в области £2= {с: 1<|£|<со} функций /'] имеющих В Проколотой окрестности ТОЧКИ С = 00 разложение Дс) - г + а0 + а /с + ... + а„!2 +... ;
Хо - множество всех функций из £, не принимающих в £2= {4: 1 < |^1 < со} нулевого значения;
Хо/> - множество всех функций класса 2о, отображающих /3= {£,'■ 1 < |ь! <00} на области с /нкратной симметрией вращения относительно нуля;
Е - круг {х : |г| < 1};
- множество функций класса 3, имеющих /?-кратную симметрию вращения вокруг точки ч> = 0;
Бр (Д Д) - множество функций м =Дг) класса для которых ДО) = О, /'(О) = Д> О, со значениями в заданной области Д ОеД комплексной плоскости;
Т8Р(1), Д) - совокупность функций, каждая из которых обратна некоторой функции класса 8Р (Д Д);
5" - подкласс класса 5 тех функций, которые отображают единичный круг на плоскость с разрезом по простой жордановой дуге, идущей в бесконечность;

с>+,(Д - (й/л+1)-й тейлоровский коэффициент в разложении функции /р(г) из класса 8Р в окрестности нуля;

{л(и')} „ - коэффициент при м>т в разложении в ряд Тейлора в окрестности точки м? = 0 голоморфной функции /.{и'); т(т-)...(т-п+)

^2 п -биномиальный коэффициент;
а„ + а„+1 + ... + ат , если т > п [О, если т < п
Р(е 'вz) = {е>в + z)/(e’e -z) - ядро Шварца для круга; //(г) - управляющая функция в уравнении Левнера.

однолистно и конформно отображает Г) на Е и <р{м/, г) - интеграл уравнения
д<р д<р мР( г) + мР „о ^
0<т удовлетворяющий условию (р(ч!, 0) = И’, | Н | < 1, Т = - 1п(Д/]).
Пусть
г * (р) крл-1 (р)
ф>,т) = е 2. скр+1(т)р , с1(т)=. (2.4)

Подставляя разложение (2.4) в (2.3) получаем, что

коэффициенты С крг](т) образуют решение бесконечной системы дифферешщальных уравнений

[Сфг 1]' = (кр)ср^1 + 2£ (гр + 1) Сгр+1 ( р(т) f Ф (к = 1, 2, ...). (2.5)

Из условия 0) = и находим начальные условия для

системы (2.5): с^+!(0) = 0.
После введения в (2.5) обозначения
(е (Дг)) = Цт) (2.6)
(р) (р)
и замены С]сР+ на Укр+ по формулам
У^) = ^РТ^М$ (* = 1, 2,...) (2.7)

получим ДЛЯ Укр+}(т) на 0 < т< г бесконечную систему обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений
[у^н]' = 2 X (/р + 1) и г(т)Угрн (к= 1,2,...) (2.8)