Оценки погрешности двумерной кусочно-полиномиальной биркгофовой интерполяции

• Автор: Латыпова, Наталья Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 105 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА
§1. Теоремы существования и единственности
§2. Вспомогательные результаты
ГЛАВА 2. Некоторые частные случаи (в = 7)
§1. Оценки сверху
§2. Оценки снизу
ГЛАВА 3. Общий случай (в = 4/с + 3)
§1. Оценки сверху
§2. Оценки снизу
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ: рисунки
ЛИТЕРАТУРА

Введение
В связи с методом конечных элементов (МКЭ) в последние годы активно изучается зависимость оценок погрешности аппроксимации классов диффференцируемых функций интерполяционными многочленами двух и большего числа переменных от геометрических характеристик триангуляции.
Метод конечных элементов завоевал всеобщее признание как эффективный метод решения самых разнообразных задач математической физики и техники. Такая популярность метода объясняется наглядностью его физической интерпретации и простотой алгоритмической реализации на ЭВМ, облегчающей программирование сложных задач математической физики. Этот метод в своей основе является вариационным, и история его возникновения и развития восходит к основополагающим работам Рит-ца, Крылова Н.М., Галеркина Б.Г. и Бубнова И.Г. В настоящее время МКЭ перестал быть чисто теоретическим и стал эффективным средством решения прикладных задач благодаря идее использования многомерных сплайнов. Успех в развитии теории сплайнов в значительной степени стимулировал разработку математических основ МКЭ. Эти две теории, развивавшиеся в начале параллельно, первая в основном усилиями математиков, вторая — инженеров, в дальнейшем были объединены в создании столь мощного метода.
Идея метода состоит в следующем: сплошная среда, имеющая бесконечное число степеней свободы, заменяется совокупностью простых элементов (конечных элементов ), имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках.
Характерные черты МКЭ: большой диапозон применения, легкость учета реальной геометрии, простота учета температурных и силовых нагрузок, приспособленность к автоматизации на всех этапах расчета. О преимуществах и практическом применении МКЭ можно узнать из [3, 5, 7, 8, 15, 16, 22]
Этапы МКЭ:
1. Разбиение конструкции на конечные элементы.
2. Описание геометрии КЭ и свойств материала.
3. Выбор базисных функций, определяющих параметры МКЭ.
4. Описание нагрузок, действующих на элементы и в узловых точках.
5. Построение для выделенных КЭ матриц жесткости, определяющих зависимости между реакциями и перемещениями узлов.
6. Формирование разрешающей системы уравнений.
7. Решение полученной системы уравнений, учет полей перемещений и напряжений конструкций.
Подробнее об этом можно найти в [1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 16, 17, 22].
МКЭ впервые был предложен в работе Куранта [46] в 1943 году, но это важное исследование осталось тогда незамеченным. Затем в начале 50-х годов метод вновь независимо был открыт инженерами. Наиболее ранние ссылки, широко встречающиеся в технической литературе, относятся к работам Аргириса [29], Тернера, Клафа, Мартина, Топпа [56]. Название метода было предложено Клафом [45]. Исторический обзор развития метода с инженерной точки зрения дан у Одена [14] и Зенкевича [66].
Только в 60-х годах математиками, в особенности Михлиным С.Г. [10, 11], было показано значение анализа методов Ритца и Галеркина Б.Г. Интересно заметить, что, хотя они не были знакомы с достижениями инженеров, изучавшиеся ими приближенные методы все более походили на МКЭ, как показывают, например, работы Варги [57], Сеа [43] (для одномерного случая), Биркгофа, Шульца, Варги [40] (для многомерного случая). Затем происходит массовое появление работ, начиная со статьи Зламала [67], которая обычно рассматривается как первый пример современного строгого математического анализа ошибки ’’общего” МКЭ.
Теория интерполирования кусочно-полиномиальными функциями, которые локально на треугольнике определяются многочленами, не была систематизирована до конца 60-х годов. К 1968 году помимо кусочно-линейных функций были известны кусочно-полиномиальные функции второй [47] и третьей [48] степени. Это были функции, которые не только интерполировали непрерывные функции, но и сами являлись непрерывными. В 1968 году Белл [39], Босшард [41], Виссе [58], Арги-рис, Фрид, Шарпф [30] и Зламал [67] независимо друг от друга построили кусочнополиномиальную функцию пятой степени, которая была непрерывно дифференцируемой и интерполировала непрерывно дифференцируемые функции. В [30] представлены также кусочно-полиномиальные функции шестой и седьмой степени. Анализируя

к4с / 120, Л /г3 „ Л4 /г&
+ з7 1/э + -(/и + дг/17); + зГ*~2 + 4й/б +

— 2/17 + з"(/и + Ф2/17) + 3,~ 2з (/12 + <54/17) + 4! * + <5б/17) +
/) Ь Г Ь / 1 4
+ 5Ы¥и + + Зй215 + 4й2Лб + 3!2 (/10 ~Ы + ~ ХЛб) +
к2с3

к3 , +зи/2 +
(/в - 7(/и + Ф2/17)) + дТё (/9 + г(/п + Фг/п)) + уЛ+
к4 к,5 к2 с к3с к4
4! * 24 5! * 2® "г4" 3! * 24 + 4! *
Найдем значения функции о; для выражений 7, -у (с = —а, 6; 1 < г < 4).
. Л.63 /39 /а\ V
"Ы = >(.2г + °и))'“( 7“) = Т
/г264

Ц7ьз)

64 / 13 Л “ы“гЬ+°

Чтм)

Л| Л2 + °(Г

(Ию) - тх +° (I?

+ 0 тг , т(7б4

т>+0

Для 7_а;, 7-аг будем рассматривать два случая. Пусть к> а. Тогда
“О-.0 = 7 +0 (I)), ЦТ-./ = 7 ( + о
Цт-Ы = Л4 (-3 + О (1)) , 0,(7--) = л4« (3 + 0 (1
“й-‘)" * (I+ 0 (?)) ’ “(7-г)" ? (4 + 0 ©)
О,«--) = к (| + о (|)) , 0,(7—) = Л5 + О (| Пусть к <а. Тогда
о)(7_а1) = ка + о ()) , ш(7_а2) = /г2а (| + О
ы(7-аз) = /12а2 (-д4_ + О (£)) , ш(7_а4) = к2а3 + О
у(7_в1) = а2 + О (|)) , <н(7_а2) = ка2 + О ()) 1 <(7-аз) = /1а3 (5 + О ()) , ш(7-а4) = ка4 (-326 + °