Спектр связанных состояний трансфер-матрицы случайного гиббсовского поля

• Автор: Лакштанов, Евгений Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

"* Содержание

Глава 1. Связанные состояния в моделях «общего положения»

1.1 Построение одночастичных и двухчастичных подпространств

1.2 Уединенное собственное значение 7д

1.3 Остутствие прилегающих уровней вдали от особых

значений Л

1.4 Приложение

1.5 Особые значения Л и критические точки символов общего положения {шд, Л С Т"} в случае и

1.6 Формулировка основных результатов о прилегающих уровнях

1.7 Условия относительно семейства (Да

1.8 Прилегающие уровни для Л лежащих в окрестностях кратных

значений Л
1.9 Отсутствие прилегающих уровней для Л, лежащих в окрестноети каустических значений Л
Глава 2. Связанные состояния в модели со взаимодействием ближайших соседей
2.1 Выделение одночастичного и двухчастичного инвариантных
подпространств
2.2 Спектр взаимодействия двух квазичастиц
2.3 Формулировка результатов в случае < <г4 >%1ф 3 < а2 >„
2.4 Формулировка результатов в случае < «г4 >„= 3 < о2 >„
2.5 Построение мультипликативного базиса
2.6 Инвариантное одночастичное подпространство
2.7 Двухчастичное инвариантное подпространство
2.8 Уединенный уровень в случае < о4 >«/< сг2 >„
2.9 Связанные состояния с случае < о4 >„= 3 <2>v
2.10 Прилегающие уровни в случае < а4 >ьф< о3 >„
2.11 Кластерная функция двухчастичного кластерного оператора

Список литературы
Диссертация подготовлена на кафедре теории функций и функционального анализа Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов относящихся к спектральному анализу линейных операторов в моделях статистической физики.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию спектра стохастического оператора высокотемпературного гиббсовского поля.
Гиббсовские случайные поля являются общепринятой моделью большого числа стационарных решетчатых систем статистической физики и квантовой теории поля. Одним из важнейших изучаемых объектов, характеризующих это поле является его трансфер-матрица (стохастический оператор). Классические результаты задач, связанных с этим объектом, восходят к Г. Онзагеру, Б. Кауфману, А.Бете, М.Солпитеру, В. Рюэлю, Р.Добрушину,
В. А. Малышеву, Р. А. Минлосу, Я. Г. Синаю,и другим классикам математической статистической физики.
Исследованию спектра связанных состояний операторов многочастичных систем посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами уделено внимание в монографиях В. Малышева, Р. Минлоса [2], [6], Дж. Глимма и А. Джаффе [7], Б. Саймона [8] и других.
В настоящей диссертации получено полное описание дискретного спектра трансфер-матрицы высокотемпературного гиббсовского поля с компактным спиновым пространством в ее двухчастичном подпространстве, аналогичное многочисленным исследованиям более простых случаев, а именно: случая двухточечного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей (модель Изинга) Г. Онзагером и Б. Кауфманом [3], случая компактного спинового пространства и взаимодействия ближайших соседей Р. А. Минлосом, Е. А.Жижиной [11], Р. С. Шуром, М.О’Кэроллом [13] (случай некомпактного пространства спинов), а также в случае произвольного взаимодействия «общего положения» проведенного в случае двухточечного спинового пространства Р. А. Минлосом и Ш. С. Маматовым [5].
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Результаты второй главы получены автором самостоятельно. В первой главе теорема о существовании «уединенного» уровня получена совместно с Р А. Минлосом.
Рассмотрим функцию Дл(&, •?) :
Г Т£(к, к2...,кп; г)дк2 ...с1кп К'п(к) К(*г) - г)... (шА(к„) - г) ’
ке[к,к?» + тг], (1.71)

Функция А(к, г) связана с функцией Дл(^) следующим соотношением
Лемма 1.7. Функция А(к, г) является непрерывной на компакте
где величина С > 0 не зависит от /3,г,к и А.
Отсутствие нулей функции ДА(.г) при Л £ и достаточно малых (3 теперь легко следует из леммы 1.7 и равенства (1.72).
Доказательство леммы 1.7. Напомним, что функцииТ„ (к,кг кп| я) являются аналитичными по переменным А и к,... ,кп в некоторой комплексной окрестности V/ х Кп.
Обозначим
Лемма 1.8. При 2 ^ р ^ п верна оценка для к = (кг кп) 6 К%(к)
Тп(к, к-, г) < А(С{32)п~1пп12 Д((Л _ коск} _ {к. _ ^сн)2)2> {1.74)
(1.72)
а также верна оценка
|Дл(&,г) < С0, (к,г,Л) € К,
(1.73)
К(к) = {(Аг2, ...Л)£ К(к) : кр - кТп | < £}, п>р>2.

о также, вне всех множеств К%(к):