Оценки погрешностей регуляризующих алгоритмов для неустойчивых задач

• Автор: Рудакова, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ
1.1 Классификация некорректных задач и понятие оптимального метода
1.2 Понятие регуляризующего семейства
операторов. Основные допущения
1.3 Оценка погрешности оптимального метода решения некорректных задач с инъективным оператором
1.4 Оценка погрешности регуляризации при условии не-инъективности оператора
2 ИССЛЕДОВАНИЕ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧ С НЕИНЪЕКТИВНЫМ ОПЕРАТОРОМ
2.1 Постановка задачи
2.2 Вычисление квазиоптимального параметра регуляризации
2.3 Оценка погрешности метода регуляризации Тихонова
при условии неинъективности оператора
2.4 Модифицированный метод А. Н. Тихонов а

2.5 Оптимальность по порядку в случае степенной функции д()
2.6 Оптимальность по порядку в случае экспоненциальной функции д(А)
3 ТОЧНОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ПОРЯДКУ МЕТОДОВ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПОГРЕШНОСТЬ ОПЕРАТОРА
3.1 Постановка задачи
3.2 Определение оптимального линейного алгоритма
3.3 Вычисление функции Шан (<5, Ь, г)
3.4 Построение линейного оптимального по порядку алгоритма
3.5 Оптимальность по порядку метода
М.М.Лаврентьева
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
1. Большое число задач математической физики, возникающих в практических приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [102,103], то есть не удовлетворяют трем требованиям корректности: существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от исходных данных. Следствием этого является непригодность для их решения таких традиционных методов как обращение оператора, метод наименьших квадратов [104,105 и др.].
Теория специальных устойчивых методов решения некорректно поставленных задач - регуляризуюгцих алгоритмов - создана в основополагающих трудах академиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, чл.-корр. В.К.Иванова и развита далее в работах
В.Я.Арсенина, А.Б.Бакушинского, А.Л.Бухгейма, Г.М.Вайникко, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, В. А.Винокурова, Ю. Л. Гапоненко,
A.В.Гончарского, В.Б.Гласко, А.И. Гребенщикова, А.М.Денисова,
B. И. Дмитриева, П.Н.Заикина, В.В.Иванова, А.С.Ильинского, Т.И.Королюк, А.С.Леонова, О.А.Лисковца, В.А Морозова,
A.И.Прилепко, В.Г. Романова, А.Г.Свешникова, В.Н.Страхова,
B.П.Тананы, А.М.Федотова, А.В.Чечкина, А.Г.Яголы и других математиков.
На сегодняшний день накоплен огромный теоретический и практический материал, значительная часть которого отражена в

Пусть В|дг = Е, возьмем произвольный вектор ео Е N. Положим
= 0} /бп — 6пв0? Нпь ~ 4А/гп|дг — ЬЕ,
тогда
Л(ЯсО> 11( + 04011 (2-43)
Вычисляя правую часть в (2.43), получим
Д(л") 5 = Л5Г5Г'1»'1 £
Учитывая (2.42), (2.36), (2.37) получим
А(Д») > (гЦВЦЛп + йп)2р/(3р+2). (2.44)
Теорема доказана.
Следствие 1. Оценка (2.33), полученная для метода регуляризации А.Н. Тихонова Яа[Аь (2.6) с параметром а
4(р+1)
(г ||I? || Л + 6) 3*>+2 является точной по порядку оценкой.
Следствие 2. При любом выборе параметра регуляризации а мет.од Тихонова не является оптимальным по порядку, если 6 <6.
Доказательство следует из (1.13) и (2.44).