Пространства дифференцируемых функций и квазиконформные отображения

• Автор: Гольштейн, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 296 c. : ил

Основные обозначения

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНАЯ МКОСТЬ

§ I. Емкость,индуцированная линейным положительным оператором

§ 2. Вариационная емкость

§ 3. Элкость в пространствах Соболева

§ 4. Плотность экстремальных функций в пространствах У/р . Устранимые особенности

Глава II. ОПЕРАТОР ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

ФОРМЫ

§ I. Замена переменной в интеграле

§ 2. Теорема о структурном изоморфизме

§ 3. Дифференциальные формы на липшицевых многообразиях

§ 4. Интегрирование дифференциальных форм
§ 5. 0 теореме де Рама для липшицевых многообразий
ГЛАВА 1. ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФФЕРРНЦИРУРМЫХ ФУНКЦИЙ
§ I. Условие с диаметром дуги
§ 2. Необходимые условия продолжения для полунормированных пространств
§ 3. Необходимые условия продолжения для пространств Соболева
§ 4, Необходимые условия продолжения для пространств
Никольского-Бесова
§ 5. Достаточные условия продолжения
Литература

Настоящая работа посвящена изучению взаимосвязи между пространствами дифференцируемых функций (в первую очередь пространствами Соболева), геометрическими классами отображений (квазиконформными и квазиизометрическими) и нелинейной ёмкостью. Нелинейная ёмкость выступает в основном как технический инструмент, позволяющий формулировать геометрически функционально-аналитические свойства и наоборот. Такой подход к теории пространств дифференцируемых функций приводит к кругу вопросов, который естественно называть геометрическими вопросами теории пространств дифференцируемых функций.
В первой главе вводится в рассмотрение и изучается нелинейная ёмкость, связанная о положительным оператором и вариационная ёмкость. Получены необходимые для дальнейшего изучения оценки ёмкости в пространствах Соболева. В терминах ёмкости полностью описаны множества устранимых особенностей для пространств , квазиконформных и квазиизометржческих отображений.
Во второй главе получено полное описание замен переменных, сохраняющих классы Соболева с первыми обобщёнными производными, вводятся в рассмотрение классы дифференциальных форм на липшицевых многообразиях, аналогичные функциональным классам Соболева. Для этих классов форм получен аналог теоремы вложения в пространстве непрерывных функций, теорема Стокса, теорема де Рама

В третьей главе метод нелинейной ёмкости и техника геометрических классов отображений используются для изучения вопроса о продолжении классов дифференцируемых функций через границу области определения при сохранении дифференциальных свойств функций. Ейделен класс областей (области удовлетворяющие условию с диаметром дуги), в которых выполнены необходимые условия продолжения. В плоскости, в ряде случаев, получены необходимые и достаточные условия продолжения.
I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
Теория пространств Соболева и близких к ним классов дифференцируемых функций имеет в настоящее время широкое поле приложений в разнообразных вопросах теории функций, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и многих других разделах современной математики.
Квазиконформные отображения локально принадлежат клас-

су И//7 и поэтому при их изучении применимы методы теории пространств Соболева. Однако связь между классами Соболева с одной стороны и квазиконформными и близким к ним классом квазиизометрических отображений носит более глубокий характер. Квазиконформные гомеоморфизмы представляют из себя полное описание замен переменных, сохраняющих классы - локально-суммируемых в области (гС /? ^ функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые в степени П . При р Ф Л полное описание замен переменных, сохраняющих классы или задаётся
квазиизометрическими отображениями. В дальнейшем будет уточнено в каком смысле описание замен переменных является полным. Отметим только, что такая жёсткая связь между классами функций и классами отображений должна проявить себя в

(н',ФТСаРсг (Ип/рг. о**
К-0 ( ' К*0
Если /фЯ' , ТО Х^~ /^при любом /С и
(т 1^к)(х)^ рфр' 2 (
Рассмотрим функцию />7^ /Р = 11/71+ * 1^/71+ К
Если ГОн <777, а /?7у/Г< /77^ , то для всех I/ А/
справедливо неравенство
=-Тъ}к()()тТМК4<(х)+,. +Тъ/р)^ £1/р 2«-^ 2.ГПк'1

Таким образом для всякого ГЛ 2-/77# и любого натурального
" -дч/ Ыт,/(*)1+Пгт>г(*)1+-:фт^М1<6 Ф *2**)
для всех , т.е. ряд Г 1^/7) (х) сходится равномерно и на множестве К //{
Вернемся к рассмотрению функций 1У/77 . Ряд 711/р)
/77 '
состоящий из неотрицательных функций, сходитоя всвду к некоторой функции и . В силу неравенства

РР)
^итЧр(и) [Т,Р/) + 2т