Представления функциональными интегралами решений начально-краевых задач для эволюционных уравнений

• Автор: Бутко, Яна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

1 Диффузия со сносом в многообразии

1.1 Поверхностные меры, соответствующие мере Винера на траекториях в многообразии

1.2 Задача Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии
1.3 Семейства операторов, эквивалентные по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Коши

1.4 Представления решения с помощью формул Фейнмана

г* •* — •
1.5 Представления решение с помощью функциональных интегралов по поверхностным мёрам~~Т . ;
1.6 Задача Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области многообразия . . .

1.7 Формулы Фейнмана для задачи Коши-Дирихле

1.8 Функциональные интегралы для задачи Коши-Дирихле

1.9 Представления решения задачи Коши-Дирихле в виде пределов решений некоторых задач Коши
2 Уравнение Шрёдингера на многообразии
2.1 Задача Коши для уравнения Шрёдингера на многообразии
2.2 Взаимосвязь уравнения Шрёдингера и уравнения теплопроводности
2.3 Представления решения с помощью функциональных интегралов по поверхностным мерам

3 Формула Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами
ф 3.1 Уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве
3.2 Формула Фейнмана-Каца-Ито для положительно определённого оператора В
3.3 Формула Фейнмана-Каца-Ито для оператора В с неопределённым знаком
Заключение
Список литературы
Диссертация посвящена представлению решений некоторых начальных и краевых задач для эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.
Связь между дифференциальными уравнениями в частных производных и интегрированием по пространству траекторий была обнаружена Р. Фейнманом [56] при разработке нового подхода к квантовой механике. В 1948 году вышла в свет ставшая в настоящее время классической статья Р. Фейнмана, в которой была предложена конструкция, получившая название функционального интеграла. Как отметил Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Фейнмановское определение основано на эвристическом понятии интеграла по траекториям, и хотя работа Фейнмана написана на физическом уровне строгости, благодаря своей интуитивности, элегантности, а главное -эффективности предложенного подхода, идея интегрирования по траекториям (функционального интегрирования) нашла множество последователей.
Процедура функционального интегрирования позволяет представлять решения эволюционных (псевдо)дифференциальных уравнений с помощью интегралов по бесконечномерным функциональным пространствам - пространствам траекторий. Исследование функциональных интегралов и их применение к изучению дифференциальных и псевдодифференциальных операторов (а также и других математических объектов) в настоящее время является одним из центральных направлений бесконечномерного анализа. Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Функциональные интегралы естественным образом возникают в теории марковских случайных процессов. Это обстоятельство позволило М
Предполагаем, что/0 6 С(К), f : [0, оо) х К ->• С, /(£,•) Е С(К), Vt > 0. Здесь и далее во всей главе С(К) - банахово пространство комплекснозначных функций, непрерывных на Я" С нормой || • ||, ||/|| = SUp^# |/(®)|.
Нашей целью будет представление решения задачи (2.1) в виде функциональных интегралов по траекториям в К.
2.2 Взаимосвязь уравнения Шрёдингера и уравнения теплопроводности
Рассмотрим множество К = Uхек{х + Д(К — ж)}. Будем говорить, что функция д : К —> С принадлежит классу А, если выполнены следующие условия:
1) существует область Од некоторого комплексного многообразия, замыкание которой содержит К;
2) существует единственная аналитическая в Од, непрерывная на ОдJK функция д такая, что её сужение на К совпадает с д.
Если в условии (2) функция д является также дважды непрерывно дифференцируемой на Од (J К, то мы будем говорить, что функция д принадлежит классу А2.
Пусть функции V и /о - принадлежат классу А. Предположим, что уравнение Шрёдингера с потенциалом V и начальным условием /0 имеет в К единственное решение /(f, z), являющееся функцией класса А2 по переменной z:
i i%{^z) = {lAKf){^z) + v{z)f(^z) t>0,zeK
/(0,z) = f0(z) zE K.
Оператор AZK на функциях класса A2 определяется следующим образом: значение (AzKg)(z) равно значению в точке z аналитического продолжения функции АкдДля функций /о, V класса А и функций /(£,•) класса А2 для любого
у Е К и любого фиксированного х Е К однозначно определены функции