Оценка погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике

• Автор: Хромова, Галина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 237 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Задача восстановления функций
§ 1. Метод регуляризации Тихонова
§2. Линейные методы суммирования рядов Фурье в задаче
восстановления периодических функций
§3. Методы восстановления функций и их производных на базе
оператора Стеклова
§4. Получение точных по порядку оценок погрешности на
классах М[[а,Ь]
Глава II. Точные по порядку оценки погрешности приближенных решений интегральных уравнений I рода
§1. Сведения из теории линейных дифференциальных
операторов
§2. Метод регуляризации Тихонова для интегральных
уравнений с ядром Грина
§3. Метод регуляризации Тихонова для интегральных
уравнений с разрывными ядрами
Глава III. Приближающие свойства резольвент линейных дифференциальных операторов
§1. Приближение непрерывных функций и их производных с
помощью резольвент линейных дифференциальных операторов
§2. Решение обратной задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения
§3.0 верхних гранях норм функций и их производных
Список литературы

Введение.
В данной работе рассматривается задача приближённого решения уравнения I рода. Эта задача относится к области некорректно поставленных задач, на которые впервые обратил внимание Адамар.
Определение 0.1. Математическая задача называется поставленной корректно, если решение её существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных.
Из определения следует, что задача будет являться некорректно поставленной, если не выполняется хотя бы одно из сформулированных требований. Но при решении практических задач особенно важное значение приобретает последнее требование, поскольку исходные данные в этих задачах получаются в результате измерений и никогда не бывают известны точно, а существование и единственность решений таких задач вытекает из их физической сущности. Поэтому в дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori.
Приведём общую постановку задачи приближённого решения уравнения I рода.
Пусть Х{, Х2 — банаховы пространства,
Рассмотрим уравнение
Au = f, (0.1)
где А — линейный ограниченный оператор, действующий из Хх в Х2 и такой, что Асуществует, но неограничен.
Обозначим через й — точное решение, через /— точную правую часть уравнения (0.1). Пусть правая часть / задана её -приближениями /'. в пространстве Х2: II/6 -/1 . <8. Задача приближённого решения
( II ПЛ2
уравнения (0.1) состоит в построении по /г последовательности
элементов и6, такой, что || и8 - и || —> 0 при <5 —> 0. К такой задаче
сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи: обратные задачи геофизики и астрономии, задачи спектроскопии и другие.
Основополагающими работами в области некорректно поставленных задач являются работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [51], [29], [30], [19], [20]).
В них было положено начало теории методов решения уравнений I рода. Эти методы называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов:

1) построение семейства линейных операторов Та, зависящих от параметра а, действующих из пространства Х-, в пространство А, и обладающих свойствами:
а) каждый из операторов Та определён на всем пространстве Х2,
б) <0° при каждом значении а,
в) для любого и е X,
||Лм-ц|| —»0 при а -» 0; (0.3)
2) согласование параметра а с погрешностью 8 а = а(8) такое, что

(Х, л, Х)С(г, л, Д )с/л
<З.С(х, с, 1))

а отсюда
1 (с/С(х,/,1)л'/2
Р«1к-с
а о<л<1 V с/1
(1.23)

Л=-/а
Из (1.20) имеем:
1 с/С 1 с/ с/га,х с/га, (1-х) 1 с/ с/га, + с/га, (2х-1)
Я=-1 /а

'“л 2а, с/а, 2а, с/а, а, л/г а, 4а, с/а, а, л/г а.
{а,л/га, [л/га, + (2х-1)л/га,(2х-1)]-(л/га, +а,с/га,)[с/га, + с/га, (2х-1)]}
4а, "л/г2 а.
4а,3л/г2а,
{а,(л/г2а, - сЪ2 их)~ сках л/га, + а,[(2х - 1)л/га, л/га,(2х-1)-
- с/га, с/га, (2х - 1)]-л/га, с/га, (2х-1)}
л/г2а, -с/г2а, =-1, ска, л/га, = — л/г2а,;

л/га, с/га, (2х - 1) = — [л/г2а,х + л/г2а,(1 - х)];
л/га, л/га,(2х - 1) = [с/г2а,х - с/г2а,(1 - х)];
с/га, с/га,(2х - 1) = -[с/г2а,х + с/г2а,(1 -х)]. Отсюда

з (2а, + л/г2а, + а, [2х с/г2а, (1 - х) + 2(1 - х)с/г2а,х] + '=*,/ 8а, л/г а,
Я=-1/« “ч
+ л/г2а,х + л/г2а,(1 - х)}.
Представим все гиперболические функции через экспоненты. Тогда получим: