О применении конформных отображений к неравенствам в некоторых классах многолистных аналитических функций

• Автор: Олесов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 171 с.

Глава 1. Мажорантные аналитические функции

§1.1. Построение конформного отображения

§1.2. Теоремы покрытия

§1.3. Неравенства для аналитических функций

и их производных

Глава 2. Рациональные функции и полиномы

§2.1. Неравенства для рациональных функций

§2.2. Неравенства для тригонометрических и

алгебраических полиномов

§2.3. Дифференциальные неравенства для

тригонометрических полиномов

§2.4. Рационально-тригонометрические функции
с ограничением на отрезке, меньшем чем период
§2.5. Тригонометрические полиномы с ограничением
на отрезке, меньшем чем период
Глава 3. Целые функции конечной степени
§3.1. Построение конформных отображений
§3.2. Неравенства для целых функций конечной степени
§3.3. Неравенства для полиномов
Список литературы
В настоящей работе развивается новый подход к изучению свойств многолистных аналитических функций с помощью теории однолистных конформных отображений. Мы получаем новые неравенства для мажорантных аналитических функций, для рациональных функций и полиномов, и для целых функций конечной степени, усиливающие и обобщающие классические и современные результаты такого рода.
В 1889 году, отвечая на вопрос поставленный химиком Д. И. Менделеевым, А. А. Марков [33], [34, с. 51-57] доказал, что если Pn(z) - алгебраический полином степени п, то
max Р'(х)<п2 max Рп(х).
-1<х<1 1 ~ -1<ж<1
Равенство в этом неравенстве достигается для полинома Чебышёва
Тп{х) — cosпarccosх, х G [—1, 1].
В 1912 г. С. Н. Бернштейном [3] было получено неравенство для производной от тригонометрического полинома рп(х) п-го порядка:
max |p[j(a:)| < п max рп(х).
—7г<а:<7Г — п<х<тт
Данное неравенство легло в основу доказательств обратных теорем С. Н. Бернштейна в теории аппроксимации, т. е. играет основную роль при решении вопросов, касающихся связи между дифференциальными свойствами функции /(ж) и быстротой, с которой стремится к нулю ее наилучшие приближения En(f) при помощи тригонометрических полиномов порядка п. Им пользуются также при изучении сходимости рядов Фурье и рядов, сопряженных с ним.
О роли неравенств Маркова и Бернштейна С. А. Теляковский пишет: “Экстремальные проблемы связанные с неравенствами для производных многочленов, среди основных в теории аппроксимации... . Применение неравенств такого рода - основной метод доказательства обратных теорем в теории аппроксимации. Зачастую дальнейшее развитие обратных теорем

зависело от предварительного получения соответствующих обобщений или аналогов неравенств Маркова и Бернштейна” [126].
Экстремальным проблемам для полиномов посвящена обширная литература (см. статьи и монографии [60, 80, 82, 90, 108, 144, 146, 148, 151], а также ссылки в них).
Неравенства А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна неоднократно передо-казывались и обобщались в различных направлениях. Обобщения касались различных классов алгебраических и тригонометрических полиномов, алгебраических дробей и рационально-тригонометрических функции, целых функций конечной степени и аналитических функций с изолированными особыми точками.
Вместе с дифференциальными неравенствами, важную роль в теории аппроксимации и в ряде смежных областей математики, играют оценки значений функции через значения аргумента и другие параметры (например, теоремы Фрагмена и Линделефа для целых функций).
Примеры эффективных приложений такого рода можно найти в монографиях Н. И. Ахиезера [2], С. Н. Бернштейна [4], Р. П. Боаса [77], И. К. Даугавета [12], В. К. Дзядыка [15], А. Зигмунда [21], И. И. Ибрагимова [22, 23, 24], Б. Я. Левина [30], С. М. Никольского [40], В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева [58]. Оценки такого плана для целых функций находят применение также в теоретической физике [31, 63]. О роли неравенств и экстремальных проблем в математическом анализе говорится в статье С.
Н. Бернштейна [5]: “Наиболее плодотворное развитие за последние десятилетия получили те разделы теории функций комплексной переменной, в которых, как в теории целых и мероморфных функций, руководящее место заняли неравенства и связанные с ними различные экстремальные проблемы. ... экстремальные неравенства и функции или классы функций, характеризуемые простыми экстремальными свойствами, служат путеводной нитью, направляющей плодотворное развитие анализа
Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, целых функций и их обобщений внесли В. В. Арестов, Н. И. Ахиезер, Н. К. Бари, С. Н. Бернштейн, Р. Боас, В. С. Виденский, Т. Г. Генчев, Н. К. Говил,

Покажем, что
-QE(x) - У(.г~)! = ~ ат^х ~
Действительно,
Іги7 (ж) |

daxgw(x) д{тх + 2 arg(x — а)}
х Є
дх дх
а в силу равенства и>(х)/ш(х) = ег2агеш(ж); х G R 7*, имеем
0.п)(ж) <9argw(x) ( s(x) + гДж) |' r).s/(2;)t(x) — t'(x)s{x)
ыЪ ~ т ~ — л ^ т ■ т г У — Zi L ~
и(х) дх
«(ж) — й(х)
т. е.
dargш(х) s'(x)t(x) - t'(x)s(x)
[s(x) — it(x)]2 ’
= 3£(ж), ж Є I 7*.
<9ж 52(ж)+£2(ж)
Обозначим через (жх, Ж2) интервал на вещественной оси, не содержащий точек из 7*, и положим
в(х) = argu>(x) — К(а) arg(x — а) = 1 1 cJ(x) К (а) ж-а 1 1 со(х) (х — а

2г oj(x) 2i х — а 2i ui(x) x
Согласно неравенству (1.3)
К(а)
, жє(жі,х2).
Сj(z)
u(z)

<1, Sz > 0.
Поэтому д'(х) > 0, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда выполняется тождество
u(z)/u{z)|fe(e) = I(z- o)/(z - а)I2
и равенство (а) = 0. Не составляет труда показать, что из этих условий и условия подчинения следует, что
f(z) = 0, если а£х 1, z
f(z) = Clo(z) —, С = const, если а Е хх 1-