Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах

• Автор: Плиев, Марат Амурханович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 83 с.

К традиционным методам функционального анализа относится построение аналитических представлений различных абстрактных пространств (векторных решеток, нормированных алгебр и др.) и действующих в них операторов (линейных, нелинейных, монотонных и т.п.). Это обусловлено прежде всего тем, что наличие у объекта того или иного аналитического представления значительно облегчает работу с ним. Например, вместо списка абстрактных свойств оператора мы получаем его выражение в виде конкретной формулы, в которую автоматически заложены все эти свойства. (Такой формой может быть матрица, интеграл с ядром и т.п.).

§1. История вопроса

0.1.1. Функциональный анализ, зародившийся в конце 19, начале 20 века, как синтетическая дисциплина, объединяющая принципы алгебры, геометрии и анализа, получил свое название из-за простейшего оператора — функционала. Именно функционалы и операторы, а также различные пространства, составленные из них, стали основным объектом исследований в этой новой дисциплине. Ясно, что поэтому поиск общей формы различных классов линейных и нелинейных операторов является всегда важной и актуальной задачей анализа. Эта задача привлекала математиков в начале двадцатого столетия — на заре становления функционального анализа, и сейчас ею занимаются крупные и известные ученые. Это направление начинается с основополагающих работ Ф. Рисса, М. Фреше, Г. Штейнгауза, изучавших линейные непрерывные функционалы в классических банаховых пространствах. Поиску аналитического представления линейных операторов со значениями в банаховых про-

странствах начинается в 1930-х годах с работ И. М. Гельфанда, Н. Дан-форда, С. Бохнера, Б. Петтиса и других. С именем JI.B. Канторовича связано фундаментальное понятие частично упорядоченного векторного пространства. Л. В. Канторович и его ученики развили функциональный анализ в этих пространствах. Одним из важных вопросов, рассматриваемых в рамках этой идеологии, также было аналитическое представление операторов и функционалов, действующих в этих пространствах. Примером такого представления является, например, спектральная теорема, описывающая строение нормальных операторов в гильбертовом пространстве.
0.1. 2. Для приложений большое значение имеет возможность представить оператор в виде некоторого интеграла от параметра. Важность такого представления обусловлена тем, что интегральный оператор во многих классических пространствах обладает хорошими свойствами: непрерывностью, компактностью и др. Возникающие же в приложениях дифференциальные уравнения при некоторых условиях могут быть сведены к интегральным и ввиду хороших свойств интегрального оператора облегчается изучение исходного оператора. В 1935 году Джон фон Нейман поставил проблему характеризации линейного оператора в Li. Эта проблема была решена в 1974 году советским математиком А. В. Бухваловым на основе исчисления порядково ограниченных линейных операторов в векторных решетках. Независимое доказательство этого же результата было представлено также нидерландским математиком А. Ше-пом. Для решения этой задачи в более общих пространствах измеримых вектор-функций потребовались более изощренные средства — методы теории мажорируемых операторов. Это проблему решил в 1987 году советский математик А. Г. Кусраев. Для нелинейных операторов аналогич-

ные исследования появились позже. Лишь в конце 60-х годов польскими математиками Л. Дреновским и В. Орличем были указаны условия интегрального представления для нелинейных, ортогонально-аддитивных функционалов, определенных на идеалах пространства измеримых, почти всюду конечных функций. Для распространения этого результата на операторы вновь оказалась плодотворной техника векторных решеток. Для широкого класса нелинейных операторов удалось построить порядковое исчисление, аналогичное линейному случаю. Развивая идеи
А. В. Бухвалова, испанский математик Сегура де Леон в [96] получил критерий интегрального представления для нелинейных ортогонально аддитивных операторов вида Т : А —> А, где Е и А — порядковые идеалы в пространстве измеримых почти всюду конечных функций.
0.1.3. В настоящее время в вопросах представления операторов со значениями в абстрактных пространствах выделяются два направления. Первое направление — изучение операторов со значениями в нормированных пространствах. Второе направление — изучение операторов со значениями в К-пространствах. Синтез идей и методов этих двух направлений приводит к новым возможностям. Технически это осуществляется с помощью теории решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов. В основе понятия мажорируемого (доминиро-ванного) оператора лежит простая идея, восходящая, по крайней мере, к методу мажорант Коши. Грубо говоря, ее можно выразить следующим образом. Если рассматриваемый оператор (уравнение) мажорируется другим оператором (уравнением), называемым мажорантой или доминантой, то свойства последнего существенно влияют на свойства первого. Таким образом, оператор (или уравнение) с “хорошей” мажорантой должен обладать “хорошими” свойствами. Математический ап-

п _»
2,п. Ясно, что и = ^2 /«■ Элемент V определим следующим образом: ;

у = ]Г) ЗДв1- Доказательство завершено. [>

3.1. 3. Через Е*(Х) обозначим множество измеримых вектор-функ-иий Я(зЛ). таких что |К(-,-)| Е Е <Э Д>с(м)-
Лемма. Пусть Т: Е(Х) —> ЕДУ/Е) мажорируемый слабый интегральный оператор. Тогда для любых Я Е Е*(Х), г Е У, ||г|| < 1 и почти
всех с € В. конечна функция:
вн У К~> СДзД, Я(.М)))|бЦД. (130)

<1 Достаточно показать,что интеграл существует для всех вектор-функций /г(5,1) таких, что выполняется неравенство:
|й| (М)< Ш01в(*),5еВД. _ (131)
Так как оператор Т мажорируемый, то /1-почти всюду выполняется каноническое неравенство:
I(г, Щз, I, №))М*) = (Ч ШД < (132)

< Тд (в) < |Г| |й| (Д. (133)
В силу монотонности оператора | Т|, это неравенство будет выполняться и для всех / Е Е(Х), | /| < | д|. Для каждого : £ 2, ||г|| < 1 введем вспомогательную функцию V): В х Л х 1 I такую, что УДвД, г) = |{л, 1'(з, 1, гр(1)))|. Во избежания громоздких формул, параметр г € Я,