Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов линейных операторов

• Автор: Гаркавенко, Галина Валериевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Список обозначений

Глава 1. Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов

§1 Абстрактная схема метода подобных операторов

§2 Нелинейные уравнения метода подобных операторов

§3. О диагонализации некоторых классов линейных

операторов

Глава 2. Метод подобных операторов в вопросе единственности

решения обратной задачи спектрального анализа

§ 1. Обратные задачи спектрального анализа

§2. Построение допустимой тройки. Теорема о расщеплении

§3. Единственность решения обратной задачи спектрального

анализа
§4. Единственность решения обратной задачи спектрального
анализа для одного дифференциального оператора
Глава 3. Исследование спектральных свойств возмущенных
операторов с неограниченными возмущениями
§ 1. Построение допустимой тройки метода подобных операторов
для одного класса неограниченных возмущений; случай
§2. Построение допустимой тройки метода подобных операторов
для одного класса неограниченных возмущений; случай
§3. Применение к дифференциальным операторам с периодическими краевыми условиями и негладким потенциалом
Литература

Список обозначений.
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
X - комплексное банахово пространство;
Н - комплексное гильбертово пространство;
Епй II - банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве;
ЬА(Х) - банахово пространство операторов, подчиненных А с нормой
і2 - гильбертово пространство последовательностей, суммируемых с квадратом;
L2[a,b] - гильбертово пространство функций, интегрируемых с
квадратом на отрезке [а, b];
Lx[aM " банахово пространство существенно ограниченных функций на отрезке [а, Ь];
W22m[a,b] - пространство Соболева непрерывно дифференцируемых функций y:a,b]-> С, производные которых y(v), v = 1,2 2т-2 непрерывны, у(2т~]) абсолютно непрерывна и у{2т) еЬ2{а,Ь)
5Я - банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В с нормой || • ||4;
Ran А - образ оператора X;
сг(А) - спектр линейного оператора А;
р(А) - резольвентное множество линейного оператора А.

Одним из самых распространенных методов исследования спектральных свойств возмущенных линейных операторов является резольвентный метод, в основе которого лежит интегральное представление Коши проекторов Рисса. Такой метод лежит в основе исследований, проводимых в известных монографиях Т. Като [32], Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца [26], М.А. Наймарка [45]. Результаты, полученные на основе этого метода зависят от выбора системы контуров интегрирования и оценок резольвенты оператора на этой системе контуров.
Другим методом исследования возмущенных операторов является метод подобных операторов. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А-В к оператору А-В0, подобному исходному, но имеющему более простую
структуру.
Метод подобных операторов берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [24], абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [3], [7].
Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [56] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов Р. Тернером [62] была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора.

= £(* ,ик)ок=(1-Р„)х.
к*

(.А-Лп1)Рпхк =(А-Лп1)(хк,ип)ип=(хк,ип)(Л„о„-Л„ип)
Включение (Г^ЛДДД) с £)(Л) следует из (2.3) и того, что операторы Л и Бп перестановочны.
Третье свойство расщепляющей тройки выполняется
аМе,== =даел - адде/,=г, (еде,)
в силу выполнения свойств БПРП = Рп5п = 0, (/ - Рп) = (/ - Рп )Ул.
Оценим норму оператора ХГПУ. Имеем:
|ЛГД < ЦЩ/Хл - V)'1! -1 Ф К‘УЛа - V)'
<||^(л - лоЦй - лХт -5.кр.х^ - V)"1!
^ 14|л - +||(л - Л'К||И.)=
( 1 ) =(]1,-л1Ы+|(^-л/К1ММ.= *„+-т-|а-л| ил
V у
Аналогичное равенство можно доказать и для (ТПХ)У.
Все свойства допустимой тройки выполнены, а значит тройка (ЬА{Н),УЯ,ГИ), где трансформаторы Лп и Гя определяются равенствами (2.2) и (2.3), является допустимой расщепляющей тройкой для оператора А. Лемма доказана.
Для возмущенного оператора А-В строится подобный ему оператор в виде А-РПХ0РП-(I - РП)Х0(1 - Рп)0, где Х0 решение операторного уравнения (1.2), рассматриваемого в 93. Это уравнение
разрешимо, если ||э||||5|||]Г||<-^, и решение находится методом
последовательных приближений.