Операторы канонического порядка и сплайны по многочленам Бернштейна

• Автор: Меньшикова, Юлия Станиславовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Обобщенные операторы канонического порядка
1.1. Предварительные сведения
1.2. Доказательство одной теоремы в общем виде
1.3. Обобщение операторов канонического порядка
1.4. Обобщение дробно-рациональных операторов
1.5. Обобщение многочленов Бернштейна
1.6. Бершитейновские модификации для операторов 11п
1.7. Модификации Кирова для операторов Х1п
1.8. Итерация операторов 17п
Глава 2. Приближение непрерывных функций сплайнами
по многочленам Бернштейна
2.1. Основные понятия. Свойства центральных моментов
2.2. Основные аппроксимационные теоремы для оператора Вп8
2.3. Одновременное приближение функции и ее производных оператором ВП8
2.4. Бершитейновские модификации и модификации Кирова
для оператора Впз
2.5. Итерация сплайнов ВП8
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Одним из важных направлений теории аппроксимации функций являются линейные методы приближения. Стремление использовать для приближения функций именно линейные операторы объясняется важностью многих из них в математическом анализе, а также возможностью построения в этом случае законченной и ясной теории. В 50-е г.г. П.П.Коровкин ввел понятие линейных положительных операторов (л.п.о.), показав, что приближающие свойства операторов во многом зависят от их положительности.
Ведущим частным случаем л.п.о. являются многочлены Бернштейна для / Е С[0; 1]
Эта конструкция была предложена С.Н.Бернштейном [3] для доказательства теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами, исходя из методов теории вероятностей. В дальнейшем аппроксимационные свойства операторов Вп были исследованы как самим С.Н.Бернштейном, так и многими другими математиками. Многочлены Бернштейна являются удобным инструментом приближения. Они сохраняют такие свойства приближаемых функций, как положительность, монотонность, выпуклость (см. В.В.Жук [22]). В случае гладкой функции операторы Вп осуществляют одновременное приближение этой функции и ее производных. Соответствующая теорема установлена И.Н.Хлодовским (см. В.С.Виденский [8], В.Л.Гончаров [16]). Е.В.Вороновская [13] в 1932 году доказала, что если функция / имеет производные порядка выше, чем второй, то это не улучшает скорость
(0.1)
Рпь(х) = су (1 - ГГ*.
ее приближения многочленами Бернштейна. Порядок приближения будет О(л-1). Затем С.Н.Бернштейн [2] обобщил этот результат и доказал асимптотическую теорему для Вп. В работах [4], [5], [6] он исследовал вопрос о сходимости Вп для аналитических функций в комплексной области.
В дальнейшем многие математики изучали различные операторы типа многочленов Бернштейна. В частности, J1.В.Канторович [24], [25] исследовал приближение измеримых функций при помощи операторов, получаемых из (0.1) путем замены f(k/n) на положительные функционалы, являющиеся средним значением функции / на (к/{п 4- 1 ), (к + 1 )/(п + 1)). А.О.Гельфонд [14], [15] построил полиномы типа (0.1) по системе функций 1, {хк1птх}, к > 0, т > 0, и перенес на этот случай некоторые теоремы о сходимости многочленов Вп и об оценках скорости сходимости. Позже Ю.И.Волков [12] и М.Е.Н.Ismail,
С.P.May [44] независимо друг от друга исследовали операторы экспоненциального типа. Такими операторами называются л.п.о. {Fn}, удовлетворяющие условиям
Fn(lx) = 1,/х е [0; 1], где
ip(x) € С°°[а; Ъ], (р(х) > 0 для х € (а; Ь).
К ним относятся многочлены Бернштейна (0.1), операторы Баскакова, операторы Миракьяна-Саса и другие классические операторы.
В.С.Виденский [7] построил дробно-рациональные операторы Qn, частным случаем которых опять же являются многочлены (0.1) Вп.

Qn(f;x) = Y. f(Tnk)qnk{x) (0.2)

Основные результаты для Qn изложены в работах В.С.Виденского [7] и А.Э.Менчера[28], а также в их совместной статье [9].

Кроме того, для комбинации А = 1, р = 0 получим так называемый левый многочлен Бернштейна В1п(/-,х) (по терминологии авторов), а при А = 0, р = 1 - правый многочлен Бернштейна 5£(/;ж), которые, соответственно, записываются как
п— 1 / Ь
= Е / - су,х‘(1 - *)"-*, (2.6),

КІМ = с„‘:р*(і - ху- (2.7),
к=1 Vй
Итак, теперь можно сформулировать лемму [41, лемма 4.1], предшествующую доказательству теоремы об одновременном приближении функции и ее производных.
Лемма. Если f Е С[0; 1], то для любого р = 0,р и т < п имеем
£ш(/і х) = (®(1 - ХТЛХ)) равномерно на [0;1], (2.8)

]іт і?й(/; х) = — {хт(1 - х)/{х)) равномерно на [0;1], (2.9)
(В сВ
„Цт ж) = ((! - х)ї(х)) равномерно на [0;1], (2.10)
В <В
„Цт ж) = ДД (ж/(ж)) равномерно на [0;1]. (2.11)
Доказательство леммы. Запишем нужные операторы в более удобном виде. При т < п
га—то—1 (Ь. і І
£*»(/;*) = Е / — С„Ет_Д(1 - х)"
&=0 П
= х{1 - х)тоЛ„_т_ 1 (/; ж), (2.12)
П—ТО
где Лге_т_і(/, ж) — f ( І рп_то_уДж),
*=0 п
Р1к{х) = Скхк(
Для упрощения записи обозначим 5 = п — то — 1. Видно, что Д(/;ж) - смещенный многочлен Бернштейна, отличающийся от классического