Гладкие функции и цилиндрические меры на локально выпуклых пространствах

• Автор: Смолянов, Олег Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 259 c. : ил

СОДЕПАНИЕ

Введение

Глава X.Отображения топологических векторных пространств

Обозначения и терминология

§1 .Основные определения

§2.Дифференцируемость и непрерывность

§3.Цепное правило(теорема о дифференцировании

сложной функции)

§4.Формула Тейлора и ее обращение

§5.Теоремы о непрерывной производной

§6.Совпадение высших производных различных типов
§7.Предельный переход под знаком производной
§8.Пространства гладких отображений
§9.Дифференцируемость отображения взятия композиции и экспоненциальный закон для пространств гладких
отображений
§10.Эволюционные дифференциальные уравнения в локально
выпуклых пространствах
§11.Топологические векторные пространства,для которых справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратной функции
Глава 2.Мерл на топологических векторных пространствах
§1.0дин признак счетной аддитивности незнакопостоянных цилиндрических мер
§2.Обратная теорема Прохорова
§3.Измеримые линейные многообразия в произведениях
векторных пространств с мерой
§4.Дифф)еренцируемые меры

§5.Обобщенные функции и распределения
§ 6 .Псевдодифференциаль ные операторы
§7.Стохастические дифференциальные уравнения
Глава 3.Совершенно полные и близкие к ним локально
выпуклые пространства
§1.Решения трех задач,связанных с понятием
совершенной полноты
§2.0 топологии пространств^ и Л)

ВВБДЕНИЕ
Основные результаты диссертации связаны с задачами локального нелинейного функционального анализа .В ней построено дифференциальное исчисление для отображений топологических векторных пространств ^ТВП) - обычно предполагаемых локально выпуклыми -и для мер на таких пространствах и описаны его применения для
исследования обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений относительно функций,принимающих значения в локально выпуклых пространства (ЛВП) ;получено несколько теорем о свойствах "произвольных" числовых мер,в том числе обратная теорема Прохорова для одного класса вполне регулярных топологических пространств и признак счетной аддитивности знакопеременных цилиндрических мер на ЛВП,представляющий собой обобщение теорем Минлоса-Сазонова и Гросса-Сазонова;решено несколько проблем из общей теории ЛВП,связанных с теоремой Банаха о гомоморфизме.
Актуальность темы.Гладкие отображения бесконечномерных пространств,цилиндрические и,в частности.дифференцируемые мері на них
и уравнения относительно функций и мер на таких пространствах возникают как в приложениях - в квантовой теории поля £ї^ - [з], статистической физике [4^ .гидродинамике , [б^ .теории экстремальных задач ,- так и внутри самой математики - в теории
распределений на бесконечномерных пространствах [9^ , [іО^ ,[эв],
при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными , [эб], [96^ ,в теории случайных процессов [21^ . Так,при квантовании по Шредингеру бесконечномерных гамильтоновых систем классической функции Ікмильтона
сопоставляется пара взаимно сопряженных операторов,один из которых действует в пространстве обобщенных функций,а другой
пространстве обобщенных мер на конфигурационном пространстве
[97^,^98^(еужения подучаемых так операторов в пространстве обоб-

необходимым для того, чтобы всякое г -дифференцируемое в данной точке отображение Е в О было непрерывным в этой точке.
2. Отображения ТШ. Следующее предложение представляет собой усиление аналога предложения I.
Предложение 2. Пусть Е , (? - ТВП, причем Жм. (Е > О.
Для того, чтобы всякое С -дифференцируемое в данной точке отображение Ь в О было секвенциально непрерывным в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы Е удовлетворяло следующему условию: (А2) для всякой сходящейся к нулю последовательности {%'*} элементов пространства £ существуют ее подпоследовательность {} и последовательность { Е} вещественных чисел, такие, что и г а-*о ~>0
Доказательство. Достаточность. Пусть ^ - С -дифференцируемое в точке е Е отображение/" в О ; покажем, что если выполнено условие (А2), то ^ секвенциально непрерывно в точке Хо . Аналогично предыдущему, мы можем и будем считать, что^бУ? (/ЕЕ) (т.е. что Хс - О , #(оЬо, {'(о) Пусть ЕЕ'} -сходящаяся к нулю последовательность элементов из Е . Если Ш)-^о , то существует (строго возрастающая) последовательность ргн} натуральных чисел, такая, что никакая подпоследовательность последовательности не сходится к нулю. Но, в силу
условия (А2), существуют подпоследовательность {Пк(ч} последовательности {^к} и последовательность (К} вещественных чисел, такие, что *0 . Но из этих соотношений, в
силу включения вытекает, что
- А 4(Е( /1. при < —. однако это противоречит выбору последовательности {Як}
Необходимость. Пусть условие (А2) не выполняется, и пусть {Е„} - сходящаяся к нулю последовательность отличных от нуля элементов из Е , такая, что если ( Еь] - стремящаяся к бесконеч-