Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции

• Автор: Волков, Борис Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение
1 Иерархия лапласианов Леви
1.1 Обобщенные средние Чезаро
1.2 Лапласианы Леви
1.3 Лапласианы Леви в белошумном анализе
2 Квантовая вероятность и лапласианы Леви
2.1 Классический лапласиан Леви и процесс уничтожения
2.2 Неклассические лапласианы Леви и квантовые случайные процессы
3 Лапласианы Леви и калибровочные поля
3.1 Лапласиан Леви на многообразии
3.2 Уравнение Лапласа-Леви и уравнения Янга-Миллса
3.3 Неклассический лапласиан Леви и уравнения Янга-Миллса
3.4 Неклассический даламбертиан Леви и уравнения квантовой
хромодинамики
3.5 Неклассический даламбертиан Леви и уравнения Янга-Миллса-
Хиггса
Литература

Введение
В диссертации рассматривается связь операторов Лапласа-Леви (лапласианов Леви) различных типов с уравнениями Янга-Миллса и с квантовыми случайными процессами.
Для функционалов, определенных на Л2(0,1), Полем Леви были сформулированы несколько определений оператора Лапласа-Леви (см. например [35]). Одно из определений состоит в следующем. Пусть {еп} — ортонор-мированный базис {еп} в Л2(0,1) и F — функция на L2(0,1); тогда значение лапласиана Леви на F определяется равенством

AlF(x) = lim -Yt(F"(z)e*ek),
71->оо

(т.е. значение лапласиана Леви на функции F — это среднее Чезаро вторых производных этой функции по направлениям векторов из {еп}.) Конечно, значение ДдК зависит от выбора ортонормированного базиса, но для некоторых базисов такое определение эквивалентно другому определению оператора Лапласа-Леви, которое заключается в следующем. Если для всех х, fi, /2 6 Ь2(0,1) выполняется соотношение
1 1 1 (F"(x)f, /2) = j J Kv(x){ti,t2)fi(ti)f2(t2)dtidt2 + J KL(x)(t)fi(t)f2{t)dt,

где Ку{х) Е L2([0,1] х [0,1]) и Ki(x) € Loo([0,1]), то значение лапласиана Леви на функции F определяется равенством

AlF(x) = J KL{x)(t)dt.

В диссертации используется аналог первого определения (см. [8]). Соответствующий оператор, который обозначается тем же символом Дь, действует на пространстве функционалов, определенных на множестве кусочно-гладких функций действительного переменного, принимающих значение в римано-вом многообразии. При этом доказывается, что связность (отождествляемая в теории калибровочных полей с вектором-потенциалом) в векторном расслоении, базой которого является риманово многообразие, является решением уравнений Янга-Миллса тогда и только тогда, когда порожденный этой связностью параллельный перенос V удовлетворяет уравнению Дь1/ = О, т.е. параллельный перенос является леви-гармоническим. Кроме того, в диссертации введен даламбертиан типа Леви (ср. [19]), и рассмотрена его связь с уравнениями Янга-Миллса-Хиггса, а также с уравнениями квантовой хромодинамики.
Стоит отметить, что интерес к работам, посвященным лапласианам Леви, значительно возрос после того, как в работах [18, 19] Л. Аккарди, П. Джиби-лиско и И. В. Волович доказали в евклидовом случае теорему о связи уравнений Янга-Миллса и лапласиана Леви, используя аналог второго определения лапласиана Леви (см. также [10]). Этот результат был обобщен на случай риманова многообразия Р. Леандром и И. В. Воловичем в работе [33]. Стоит подчеркнуть, что используемая в диссертации техника отличается от техники, используемой в упоминаемых выше работах.
Другим источником интереса к лапласиану Леви является обнаруженная в [20] и [6] его связь с квантовыми стохастическими процессами. Подход, предложенный в последней работе, был применен в [26] и [9] к обобщениям лапласиана Леви: к так называемым экзотическим лапласианам Леви. Такие дифференциальные операторы были введены в работе Л. Аккарди и О. Г. Смолянова [24].
Напомним общую схему определения линейного дифференциального оператора второго порядка из статьи [1], которая включает в себя лапласианы Гросса-Вольтерры и Леви. Пусть Е — вещественное локально выпуклое пространство и Е* — его сопряженное пространство, наделенное *-елабой топологией. Пусть Ь(Е,Е*) — пространство непрерывных линейных функ-

J V2 cos 2nntV2 cos 2irks dtds =
||s-(||r<£
= [ л/2 sin 2nntV2 sin 2nks dtds = ————-6nk,
J 7Г П
||s-t||T<£

sin 2-nkt cos 27ms cttds = 0, ||a—t||r J sin 2irkt dtds = J cos 2nkt dtds = 0.
||s-t||r В силу (2.3) выполняется limn_>co Нод (9n(e)) = So,2(0(e)) В Lb(£,£). Если Cl, C2 e TO Eo,2(Ci®C2) = 6(Ci)&(C2) (см. например [37]). Тогда в силу (2.4):
s., А) = (2е - e2)62 W + £ 51р2Гм]£,>г(^)- <2'5>
1=2 ^UJ
Рассмотрим топологию од = а(£*, span{ip£: С G 7?}) на линейном пространстве £*, т.е. топологию, порожденную семейством норм || • ||f = 15(0(01 (£*, Теорема 4. Если Ф € £* такое, что
(S^"(£),C® V) = J С(t)v(s)d^(s,t) (2.6)
[0,1]х [0,1]
для всех С, С>»? 6 #с, г^е — борелевская комплекснозначная мера на [0,1] х [0,1] и Ф 6 DottiAl, то
АЬФ = lim lim Но>2(0„(е))Ф,
£—»0 П—¥ОО
где сходимость понимается как сходимость в Q.