Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа

• Автор: Юферова, Галина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 83 с.

Глава 1. Примеры интегрирования уравнения Левнера и уравнения Левнера - Куфарева. 16 § 1 Экстремальные функции в теореме вращения на классе Б

§2 Уравнение Левнера с управляющей функцией ц{т,а,/?) = е^а+!Н'>

§3 Об одном случае интегрирования уравнения Левнера - Куфарева

Глава 2. Функция Кебе и ортогональные многочлены

§1 Теорема о композиции степенных рядов

§2 Гипергеометрические многочлены Гаусса, ортогональные многочлены и функция

Кебе

§ 3 Применение теоремы о композиции степенных рядов к решению уравнения Левнера

с постоянным управлением

Глава 3. Связь экспоненциальных многочленов Бранжа с функцией С, (г,г) и функцией

Кебе
§1 Производящая последовательность для полиномов Бранжа
§2 Связь функции Бранжа с коэффициентами функции Жт (т
§3 Неравенства для коэффициентов функции 1¥т (т,д)
Литература

В начале XX классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом
направлении были выполнены Левнером [60] в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть А е С, А ^ С, — односвязная область в м-плоскости, содержащая точку м> = 0. Пусть щ - у (г), 0 < г < г° <+со,- простая жорданова дуга в А, начинающаяся в точке у (г,) е А, оканчивающаяся в точке у(г°) границы области А и не проходящая через нуль. Обозначим отображение единичного круга Е = {г е С;|г| < 1} на А с исключенной частью рассматриваемой дуги от у(0) до у[т) через у = Ч'(т,г), Ч/(0,г) = 0, 'Л[(0,г)>0. Всегда можно полагать, что Ч'(т,г) = ет2 + .... Левнер показал, что Л (г,т) имеет производную
дЧ{т,г) _ дЧ>(т,г) /г(г) + г
дт дг /л(т)-г’
где //(г) - точка на границе круга Е, со ответствую щая подвижному концу
разреза. Полученную формулу можно рассматривать и изучать как
дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности Ч/(0,£), более
удобно исследовать уравнение для функции ^(г^) = ^(Ч/(0,я),г), где т е [о,г°), а /7(г,>г) — функция, обратная к 'Р(г,г) при фиксированном г, то есть уравнение
^ = -^44^7’ С{0,г) = геЕ. (*)
йт //(г)-С
Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса 5*, то есть класса голоморфных однолистных отображений /(г) круга Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /'(0) = 1, можно получить как
множество отображений
/(г) = НтеГ1С(т,г) = г + с2г2 + ..., г еЕ,
где С(т,г) — решение уравнения (*) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией //(г), |//(г)| = 1. Левнер, пользуясь (*), доказал неравенство )с3| < 3 на классе <5, что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха [29]: |сл[<п на 51 при любом иеМ. На основе уравнения Левнера и исследований Г.М. Голузина [34], [35], [36], [37], [38]; [39], [41], И.Е. Базилевича [23], [24], [26] сформировался один из
методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П.П. Куфаревым [53], [56], [57],
И.А. Александровым [5], [15], В.А. Синевым, Г.Д. Садритдиновой [65], [66] он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля — Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И.А. Александров [9], В.И. Попов [62], С.А. Копанев [17], В.Я. Гутлянский [43] нашли области значений многих функционалов на классе Я, в том числе, область изменения 1п /'(~0) на 5, П.П. Куфарев [48] и А.Э. Фалес [58] решили известную задачу М.А. Лаврентьева о дополнительных областях.
Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение
^- = -£Р{С,т), 0<г < +оо,

“ !Л,(і + т-Л(-/ + т) (1 + т)
_ £-тт V"» ^ -г /п і /р V
р{2т + )р
р^е~(р+т)Т2І
1=т+1 р
то єсть (17). Теорема доказана.
Следствие Решение £ = £(т,г) уравнения Левнера
£ о < т < +со,
сіт Ь1 + С
с начальным условием £”(0, г) = я • имеет разложение в ряд по степеням г следующего вида:

-у + и + І
3 ’
Ранее разложение функции £(г,г) по степеням г было получено
Садритдиновой Г.Д. [67]. Связь коэффициентов с гипергеометрической функцией Гаусса ранее не отмечалась.
Известно, что функция
(1-7Г^)2
£(т,г) = -~ —, и = -4
является решением уравнения Левнера с управляющей функцией ц(т) = -1.
Получим разложение по степеням г частных производных логарифма этой функции. Имеем
51гиГ = 1+£ 1 дпС _ 1-С 1~г
& 2 ф-2(1-2е~т)г + 22 ’ 8т 1 + С ^1-2(1-2еГг)г + г2 '
Учитывая (4) находим разложения этих производных с записью коэффициентов в виде комбинации многочленов Лежандра:
^=р1[р.« (> - 2Л *РУ~ 2ЛУ ■
* и
'^у = -Р,(-2е-’)-У^Рп(1-2е-) + Р,_,(1-2е-)у. (18)