Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной ряд и интеграл Фурье

• Автор: Рослова, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ
ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Введение
§1 Обобщенная локализация почти всюду
1°. Вспомогательные утверждения
2°. Представление частичной суммы двойного тригонометрического
ряда Фурье
3°. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических
рядов Фурье функций из L log+ Llog+log+L
§2. Отсутствие обобщенной локализации на множествах, не
являющихся плотными в Т2
Глава II. РАВНОСХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВОЙНОЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ
ФУРЬЕ
Введение
§1. Равносходимость разложений в двойной тригонометрический
ряд Фурье и интеграл Фурье функций из Llog+ Llog+log+L
1°. Вспомогательные утверждения
2°. Равносходимость при суммировании по прямоугольникам
§2. Отрицательные результаты
§3. Обобщенная локализация почти всюду для двойных интегралов
Фурье
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

1. Рассмотрим iV-мерное евклидово пространство R, элементы которого будем обозначать х — {х
Рассмотрим множество ZN С R всех векторов с целочисленными координатами и для любого А € S1 положим = {а Є R : ctj > A, j = = 1
Пусть Ф : [0,оо) -4 [0, оо) - неубывающая функция. Через Ф(Ь)(ТЫ) обозначим множество суммируемых на TN = {ж Є R: —ж < жj < ж, j = = 1
j Ф(|/(а?)|)йж <оо,

а через Ф(Д)) — множество суммируемых на Rw функций д таких, что
j $(g(x))dx < оо.

Если Ф(ц) = ир, то обозначим Ф(Д) = Lp, р > 1; если Ф(гг) = и log+ и, где log+ и = log тах{1, и}, то Ф(£) = L log+ L.
Пусть 27г-периодическая по каждому аргументу функция /(ж) Є € Ф(L)(TN), N >1 разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье
/(ж) ~ Y1 сг(кх)‘ (°л)

Для любого вектора п = (гц
711 71N
5п(ж;/)= J2 Е ckklXl+-+kNXN (0.2)
к =—711 N — — 77 ДГ

частным случаем которой является квадратная частичная сумма 3По(х; /), когда п = — ... = пдг = по- При этом под сходимостью
ряда (0.1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм 5п(ж; /) — (0.2) при п —> оо (т.е.тшп,- -4 оо), а под сходимостью ряда (0.1) по квадратам — существование предела 5По(ж;/) при По —> оо.
Пусть функция д € Ф(Ь)(ШМ), N > 1 разложена в кратный интеграл Фурье:
д(х) ~ ! д(£)ег(х® (%. к*
Для любого вектора а = (ах
ах алг
Мх9) = щш/' / (о.з)
—0(1 —ад
Частным случаем ”прямоугольной частичной суммы” — (0.3) является ’’квадратная частичная сумма” 0, когда «1 — «2 = = «ту = «о-
Пусть р(ж) = /(ж) при ж € Т. Обозначим через Яа(х; /) следующую разность
Д«(ж;/) = Яа(х-,/-,д) = 5{а](ж;/) - Л(ж;р), (0.4)
где [а] = ([«х]
д( ж) = 0 вне Ты. (0.5)
Пусть О - произвольное измеримое множество, О С Г*, д€1 > 0 (д — = дм - ЛГ-:мерная мера Лебега), и пусть /(ж) = 0 на О.
В диссертации изучается поведение частичных сумм (0.2) при п -4 оо и интегралов (0.3) при а -4 оо функций из классов Ф(Д), равных нулю на

Из оценок (1.73) и (1.78) получаем оценку (1.71).
Предложение 1.4 доказано.
Предложение 1.4 доказывает вторую часть теоремы I.I.I.
Теорема I.I.I доказана.
3°. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из L log+ L log+ log+ L
Доказательство теоремы I.I. Пусть О — произвольное (непустое) открытое множество 12 С Т2 pH < 4яг2 (р = р2 — мера Лебега на плоскости; в случае, когда pi2 = рТ2, результат теоремы очевиден). И пусть / € LT2), /(ж) = 0 на 12.
Фиксируем произвольный вектор 5 = (5i,52) €: М2, 0 < Sj < 7Г10~12, j = 1,2, и определим множество
12(<5) = {ж 6 12 : dist(x,T2 12) > |5|| С 12. (1.79)
Фиксируем произвольное £ > 0. Существует 5° G R2, 5® > 0, j = 1,2, такое, что
р( 12 12(5)) < е при 5 : 0 < Sj < 5j, j = 1,2. (1.80)
Имеем: /(ж + «) = 0 при ж € 12(5) и uj < Sj < 5, j = 1,2. Следовательно, учитывая разложение (1.3), для таких 5 частичную сумму Sn(x-,f) можно представить в виде:
Sn(x;f) = а„(5,ж;/) при ж € 12(5), 0 < 53 < 5°. (1-81)
Обозначим 12(5°) = 12е. В таком случае мы получаем: во-первых, из оценок (1.79) и (1.80) неравенство рНе > pH — £, во-вторых, если / €