Оболочки голоморфности модельных многообразий

• Автор: Коссовский, Илья Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Глава
Модельные многообразия с цилиндрическими оболочками голоморфности и феномен жесткости
1.1 Построение оболочки голоморфности кубики
1.2 Феномен жесткости для кубик
1.3 Оболочки голоморфности модельных многообразий
порядка 4 с отражением
1.4 Феномен жесткости моделей порядка 4 с отражением
Глава
Оболочки голоморфности модельных
многообразий типа (1,4)
2.1 Оболочка голоморфности 51 — симметричной модели типа (1,4)
2.2 Группа автоморфизмов области Г0 и однородные многообразия
в С5
2.3 Оболочки голоморфности моделей типа (1,4) общего вида
Список литературы

Одним из основных объектов рассмотрения современного многомерного комплексного анализа являются вещественные подмногообразия комплексного пространства. Самая маломерная ситуация, когда они возникают - это ситуация кривой в С1. Наличие такого объекта иллюстрирует более богатую, по сравнению с вещественной прямой, геометрию комплексной плоскости. Это обстоятельство во многом явилось основой для построения одной из красивейших и важнейших математических теорий - теории функций одного комплексного переменного, которая вся, в определенном смысле, является следствием одного факта - теоремы Коши об интеграле по контуру. Теория функций многих комплексных переменных, в свою очередь, коренным образом отличается от теории функций одного комплексного переменного, как по методам исследования, так и по самой постановке задач, и причиной этого является именно более богатая геометрия пространств С" при п > 1 по сравнению с геометрией С1, в частности - наличие большого количества подмногообразий, как вещественных, так и комплексных, крайне разнообразных по своим топологическим свойствам и по своей комплексной дифференциальной геометрии. Такое разнообразие объектов, населяющих комплексное пространство, обуславливает совершенно новые интересные свойства аналитических функций на таком пространстве. К примеру, наличие аналитических дисков приводит к эффекту обязательного аналитического продолжения [23]; наличие

гиперповерхностей с различными СД-структурами приводит к эффекту голоморфной неэквивалентности двух почти любых топологически тривиальных областей [31], [29]; наличие аналитических подмножеств положительной размерности делает невозможным существование изолированных нулей голоморфных функций [23].
Вещественные подмногообразия комплексного пространства возникают в многомерном комплексном анализе самым естественным образом, прежде всего - как топологические границы областей в С^. Такие многообразия - вещественные гиперповерхности в С* - впервые изучались еще Пуанкаре [36] для случая N = 2. Ему принадлежит ряд
результатов о классификации гиперповерхностей и о строении группы их голоморфных симметрий. Кроме того, гиперповерхности играют исключительно важную роль при изучении голоморфных функций и отображений в самой ограниченной ими области. Имеется ряд формул, аналогичных интегральной формуле Коши в одном переменном, выражающих значения аналитической функции в области через ее граничные значения [23]. Имеется также ряд результатов (см., например, работы Феффермана[32], Пипчука[17], Витушкипа[7]) о продолжении биголоморфных отображний между областями па границы областей и в окрестности их замыканий, что сводит проблему голоморфной эквивалентности таких областей к проблеме голоморфной эквивалентности их границ. Эти результаты, вкупе со стремлением изучить вещественные гиперповерхности с дифференциально-геометрической точки зрения (см., например, работы Танаки [37], Черна и Мозера [31]), послужили источником большого числа работ по геометрии гиперповерхностей и проблемам их классификации.
Вещественные подмногообразия более высокой коразмерности возникают в многомерном комплексном анализе, прежде всего, как остовы (Шиловские границы) областей и как орбиты действия вещественных

С(г,г) = 2гЛ(,г)Л (1.13)
А{х,г) = {г)г (1.14)
где А(г) - некоторая скалярная линейная функция.
Доказательство. Пусть Х - векторное поле из д, удовлетворяющее условиям касания (1.6)-(1.9). Оно порождает одиопараметрическую подгруппу автоморфизмов кубики. Согласно лемме (1.5), все преобразования из этой подгруппы имеют вид:
Р(г,ги2), ги2->С(г,м2), щ -* Н(г,и)2,ии3),
где Р, (?, Н - голоморфные отображения, что, в силу леммы (1.6), означает, что - компоненты векторного ПОЛЯ Ху зависят ЛИШЬ ОТ г, Ю2, что для
поля Ху, в силу (9), означает а = 0, что доказывает (1.12).
(1.12) означает, что равенство (1.6) принимает вид:
(С(г, г), г) = 2 Ч(г,А{г,г)). (1.15)
Пусть А(г,г) — Т{г,1). Тогда Т - набор из п2 эрмитовых форм. Из последнего равенства получаем:
(С(г, г), г) = 21(г, Т(г, г)) (1.16)
Левая часть равенства (1.16) представляет собой однородный кубический многочлен бистепеии (2,1), симметричный по первым двум аргументам. Правую часть равенства тоже можно сделать таковой, предварительно ее симметризовав:
2Цг,Т{г,г)) = г{и,Т{у,ю)) + г(у,Т{и,гй))и=ь=11)=г (1.17)
С учетом следствия (1.4) и равенства (1.17), из (1.16) следует:
(С(и,у),1В) = 1(и,Т(и,й))) + 1(у,Т(и,Ш)}У и,у,ю £ С” (1-18)