Поточечные принципы выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных

• Автор: Третьяченко, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
Введение

I. Принципы выбора для функций одной переменной

1. Величина Ще,/,Т) и ее свойства

2. Принцип выбора в терминах величины ЛГ(е,/, Т)

3. Сравнение с известными принципами выбора

4. Слабый поточечный принцип выбора

5. Мультиселекции ограниченной вариации

II. Принципы выбора для функций нескольких переменных

6. Определения и обозначения

7. Свойства смешанных разностей

8. Свойства полной вариации
9. Принцип выбора типа Хелли
10. Слабый поточечный принцип выбора
Литература г

Введение
Диссертация посвящена исследованию поточечных принципов выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных со значениями в метрическом пространстве, а также нахождению условий, при которых заданная последовательность функций содержит всюду или почти всюду сходящуюся подпоследовательность.
Исторически первый принцип выбора был найден Хелли ([50]) в классе всех монотонных функций, определенных на отрезке [а, 6] вещественной оси К: равномерно ограниченная последовательность монотонных функций, определенных на отрезке [а, Ь], содержит подпоследовательность, которая поточечно на [а, Ъ] сходится к некоторой монотонной функции. Эта теорема Хелли справедлива и для произвольного непустого множества Т из Ж, как это установлено, например, в [36], и для равномерно ограниченной последовательности функций, жордановы вариации которых равномерно ограничены. Условие равномерной ограниченности последовательности функций и их обобщенных вариаций лежит в основе большинства обобщений принципа выбора Хелли (для вещественных функций — [46], [56], [61], [65]; для функций со значениями в метрическом или банаховом пространстве — [14], [15], [25], [26], [29], [30], [31], [33], [34],[36]). Упомянутые принципы выбора имеют многочисленные применения ([7], [10], [14], [26], [25], [29], [31], [33], [34], [36], [51], [64]), поскольку являются эффективным инструментом при доказательстве теорем существования. Например, они широко используются в теории функций, функциональном анализе, теории оптимизации, комплексном анализе и теории стохастических процессов ([7], [10], [25], [51]). Обобщения теоремы Хелли также находят свое приложение в многозначном анализе при доказательстве существования регулярных селекций для мультифункций ограниченной обобщенной вариации и исследовании нелинейных операторов суперпозиции Немыцкого ([36]).
Рассмотрим более детально некоторые из этих обобщений для вещественных функций одной переменной ([71]). Для этого нам потребуются

следующие определения.
Для отрезка I — [а, Ъ вещественной оси R, где а < Ь, обозначим через Reg(/) множество всех регулярных функций /: / —► R, т. е. тех функций, для которых предел слева f(t — 0) 61 существует в каждой точке а < t b и предел справа f(t + 0) £ R существует в каждой точке а i < Ъ. Множество регулярных функций Reg(/) играет важную роль, например, в теории всюду сходящихся рядов Фурье и в теории стохастических процессов. Известно, что каждая функция / Е Reg(/) ограничена, имеет не более чем счетное число точек разрыва и является пределом равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций. Поскольку множество всех мотононных функций, определенных на отрезке /, содержится в классе Reg(/), то теорема Хелли относится к принципам выбора в классе регулярных функций.
Пусть р: М+ = [0, оо) —> R+ есть р—функция, т. е. ip является неубывающей непрерывной функцией, такой, что р(р) — 0 лишь при р = 0, и НгПроо р(р) = оо. Говорим, что функция /: I —> R является функцией ограниченной р— вариации на I в смысле Винера ([66]) и Янга ([67]), и в этом случае пишем / Е В УД/), если конечна р—вариация функции /, определяемая по правилу:
УД/Д) = sup{5>(l/ft) “ /(*i-i)l): п N, /г-1 < ii, г
В частном случае, когда р(и) = и, значение VД/, I) является обычной вариацией по Жордану функции /, которую будем обозначать через
V(/,/) = sup f(ti) - f(ti-i)|l ne N, U, г
i=l J
в этом случае также используем запись ВV(/) вместо ВУД/). Известно ([56], [67]), что ВУД/) С Reg(/), и, если р выпуклая и р(и)/и —0 при и —» +0, то BV(/) является собственным подмножеством ВУД/). С другой стороны, Гоффман, Моран и Уотерман ([47]) предложили следующую характеристику множества Reg(/): если / £ Reg(/) и min{/(i — 6)> /(£ + 0)} /(i) тах{/(£ — 0), f(t + 0)} в каждой точке разрыва
Тогда {fj} всюду сходится к / = О, поэтому {fj} поточечно ограничена; более того, = {0} при t £ {1 /(к + l)}feeN и {fj(t)} = {0,fc} при
t = 1/(к + 1), к £ N. Далее osc(fj, [0,1]) = j (стремится к бесконечности при j —* оо) и в силу (1.9) N(e, fj, [0,1]) = 2 при 0 < е < j, откуда lirn:?_>00 N(e, fj, [0,1]) = 2 для всех в > 0.
Пример 2.10. Существуют всюду сходящиеся к нулю последовательности {fj} (а потому, поточечно ограниченные), для которых нарушается условие (2.1) и limoo osc(/j, [0,1]) = оо. Положим fj(t) = jV при 0 t < 1 и fj( 1) = 0. Тогда osc{fj, [0,1]) = j, V(fj, [0,1]) = 2j и, потому, в силу (1.9) N(e,fj,[0,1]) < 2j/e при 0 < е < j. Покажем, что N(e,fj, [0,1]) [j/(2е)] при j > 2е (здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа), откуда будет следовать, что
lim N(e, fj, [0,11) = оо для всех е > 0.
j—>00
Действительно, для j > 2е положим tj = (2ie/j)1Н, г = 0,1
fj(h) = j(ti)3 - j(ti-i)j =j—~ j2(y% . 1')£ = 2e > e

для всех г — 1
3. Сравнение с известными принципами выбора
Пусть, как и выше, Т С М и (X, d) — метрическое пространство. Модулем вариации в смысле Чантурия функции / £ X1 называется последовательность {v(n, f ,Т)}™=1 С [0, оо], определяемая по следующему правилу ([12], [13], [39]):
u(n,f,T) = sup{ J2 1/(Л)|: Ш? -<т, п £ N. (3.1)
г=1 '
Несколько точнее, равенство (3.1) используется, когда значение пт = sup{n £ N | -< Т} бесконечно, а если пт < оо, то v(n,f,T)