Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса

• Автор: Гусельникова, Ольга Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Содержание
Введение
1 Основные понятия и обозначения
1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП)
1.2 Ассоциированное пространство
1.3 Функции распределения и убывающие перестановки
1.4 Максимальная функция
1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП)
1.6 Фундаментальная функция
1.7 Сферическая перестановка
2 Эквивалентные описания конусов перестановок
2.1 Пространство потенциалов и конусы убывающих перестановок
2.2 Два типа условий на ядра представления
2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок
2.4 Интегральные свойства потенциалов
3 Доказательства основных результатов главы
3.1 Доказательство теоремы
3.2 Доказательство теоремы
3.3 Доказательство теоремы
3.4 Доказательство теоремы
3.5 Оптимальное ПИП для конусов убывающих функций
3.6 Доказательство теоремы 2.27 для обобщенных потенциалов Рисса
3.7 Доказательство теоремы 2.27 для обобщенных потенциалов Бесселя
4 Необходимое условие вложения пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство
4.1 Множество функций с ограниченным спектром
4.2 О вложении пространства функций с ограниченным спектром в пространство потенциалов
4.3 Необходимое условие вложения пространства потенциалов в ПИП
4.4 Задача об оптимальности вложения Н(МП) в ПИП Х(К") для ядер
С е Ьх Г) Е'

5 Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса
5.1 Потенциалы типа Бесселя и типа Рисса. Следствия общих теорем
5.2 Оптимальные вложение при р
5.3 Оптимальные вложение при 1 < р < оо
5.4 Критерии вложения в весовые пространства Лоренца при 1 < р < оо
6 Доказательства основных результатов главы
6.1 Доказательство теоремы
6.2 Доказательство теоремы 5.10 для потенциалов типа Рисса
6.3 Обоснование оптимального вложения потенциалов типа Бесселя
6.3.1 Вспомогательные результаты о сужениях БФП
6.3.2 Доказательство теоремы 5.10 для потенциалов типа Бесселя
6.3.3 Доказательство замечания
6.4 Доказательство теоремы

Введение.
Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют классические потенциалы Бесселя в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Определения и свойства Бесселевых потенциалов изложены в книге С.М.Никольского [1].
Большую роль играют Лиувиллевские классы Лр(Кп), построенные на основе классических ядер Бесселя-Макдональда. При целых показателях гладкости г пространство Лиувилля совпадают с пространствами Соболева а при
дробных показателях гладкости являются наиболее естественным продолжением классов РПр(К”).
Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производив« в нашей стране и за рубежом. Отметим здесь работы таких исследователей как С. Л. Соболев, С. М. Никольский, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, П. Л. Ульянов, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Мазья [4], X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для пространств классических потенциалов построена полная теория вложения.
В последние десятилетия эти исследования дополнены развитием теории пространств обобщенной гладкости.Отметим здесь работы В. И. Буренкова, А. В. Бухвалова, М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, В. И. Коляды, Ю. В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др.
В данной работе строится обобщение классической теории потенциалов, рассматриваются более общие ядра и базовые пространства. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования, а наше обобщение охватывает более общие функции оператора дифференцирования не обязательно степенного типа. Такие обобщения дают большую гибкость в описании дифференциальных свойств функции и позволяют получать содержательные результаты и теоремы вложения в тех ситуациях, когда классические потенциалы Рисса не дают результатов. Использование общих перестановочно инвариантных пространств в качестве базовых пространств расширяет классы дифференциальных уравнений, для которых применимы построения решений в виде потенциалов.
В работе изучаются пространства потенциалов на п— мерном евклидовом пространстве. Они построены на основе перестановочно инвариантных пространств

! н{т)(1т < Ср |Ы!д(к+), к е К%{оо) (3.12)

2. Осталось показать, что (3.12) эквивалентно (3.11). Подставим в (3.12) равенство
(3.7), учтем, что /$(£; т) = /ф(т; () и поменяем порядок интегрирования.
Тогда, (3.12) примет вид

У Р0{г)д{т)в,т < с0 ||з11в(к+). д € Ё0{Ж+), (3.13)

О < Fp{r) — I f){rt)dt I, tGM+. (3.14)

Условие (3.13) эквивалентно тому что Fp Е Д(Ж+).
Чтобы убедиться, что это условие эквивалентно (3.11), оценим Fpij). Если т е (0, /?] , то

Fp{т) = J /ф(т; t)dt + J /ф(т; t)dt = <р(т)т + J
Для Ф е Зп(оо) имеем ц> е 31(00) (см.(2.28)) и

[ p(t)dt = 1р(т)т, т€Ж+ (3.15)

так что, при т £ (0,0 ,

F(т) = У (fi(t)dt + У fi(t)dt = J p(t)dt.
о т о
Итак (снова используя (3.15) с т = /3),
ЗД<р(/?)/?(/?),т€(0,/3].
Далее, при т > (3 имеем г > 3: для Ь € (0,/3], так что, в силу (3.14),

Эти соотношения показывают, что при т G R+
E>(r) = min {<р(/3); р(т)} = /ф(/?; т). (3.16)