О корректности задачи Коши для полиномиальных разностных операторов

• Автор: Рогозина, Марина Степановна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 73 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Корректность явных разностных схем и амебы алгебраических
гиперповерхностей
1.1 Однородные многослойные явные линейные разностные схемы
1.2 Неоднородные многослойные явные линейные разностные схемы .
1.3 Устойчивость явных многослойных однородных линейных разностных схем
1.4 Критерий устойчивости многослойных явных линейных неоднородных разностных схем
2 Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного
оператора
2.1 Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора
2.2 Разрешимость задачи Коши и мономиальный базис факторкольца СН/(Р(г)>
2.3 Двумерный разностный аналог теоремы Хермандера
2.4 Разрешимость задачи Коши в «полосе»
Список литературы

Введение
Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач (см., например, [24], [25]). Другой источник появления разностных уравнений — дискретизация дифференциальных. Так, дискретизация уравнения Коши-Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций (см., например, [32], [33]), которая нашла применение в теории римановых поверхностей и комбинаторном анализе (см., например, [6], [7]). Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям (см., например, [22]). Разностной схемой обычно называют разностное уравнение, аппроксимирующее исходное дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные) условия.
Сформулируем общий вид задачи, решению которой посвящена диссертационная работа.
Для функции /(а;) переменных ж = (дц, ..., хп) оператор сдвига 8} по д-ой переменной имеет вид 83/(ж) = / (ж!, ..., ж^_1, х3 + 1, х3+, ..., хп), а полиномиальный разностный оператор Р (8) = ^2са6а, где 8 = (ф, 82, ..., йга),
где /(ж) — неизвестная, а д(х) — заданная на некотором фиксированном множестве X С 1Р функция. Из множества^ выделим подмножество Хо С X «начальных» («граничных») точек и сформулируем задачу: найти функцию /(ж), удовлетворяющую уравнению (1) и совпадающую на Хо с заданной функцией
Задачу (1)-(2) будем называть задачей Коши для полиномиального разност-

Р(8)/(х)=д{х), ж є X,

/(ж) = <р{ж), ж Є Х0.

ного оператора Р (<$).
В одномерным случае (см., например, [3], [18]), как правило, в качестве X берутся целые неотрицательные числа X — 2+, а в качестве Хд = (0, 1, ..., то- 1). При этих условиях и при Стф 0 задача (1)-(2) очевидным образом имеет единственное решение.
В многомерном случае существование и единственность решения зависят от всех объектов, участвующих в ее постановке: разностного оператора Р(Ь), множеств X и Х0. Разрешимость задачи (1)-(2) означает разрешимость бесконечной системы уравнений относительно бесконечного числа неизвестных /(ж), х £ X. Если при подходящем упорядочении неизвестных и уравнений матрица этой системы нижнетреугольная, то ее разрешимость очевидна и в этом случае будем говорить о явной разностной схеме. В противном случае задачу (1)-(2) будем называть неявной разностной схемой, и проблема ее разрешимости нетривиальна и выходит на первый план. Приведем некоторые типичные ситуации.
В первой из них, возникающей, как правило, в комбинаторном анализе, X = 2", а выбор множества, на котором задаются начальные данные, Хд зависит от свойства характеристического полинома Р (см., например, [13], [16], [31]).
Во втором случае X = {х 6 2", хп >0} и в качестве множества Хд С X берем Хд = {х € X : хп = 0, 1, ..., то — 1}, а характеристический многочлен имеет моном старшей степени т по п-ой переменной (см., например, [26]). Такого рода разностные операторы появляются в теории разностных схем, например, при дискретизации уравнений математической физики, и называются они линейными многослойными явными разностными схемами с постоянными коэффициентами, коэффициенты разностного оператора при этом зависят от параметров сетки. Если же характеристический многочлен имеет несколько мономов старшей степени то по этой переменной, то они называются неявными многослойными линейными разностными схемами.
Теория разностных схем изучает способы построения разностных схем, исследует корректность разностных задач и сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи, занимается обоснованием алгоритмов решения разностных задач. Важное место среди этих свойств зани-

Будем рассматривать разностные уравнения вида
Р(5)/(х)=д{х), х Є

где /(х) — неизвестная, а д(х) — заданная на 2" = 2+ х ... х функция и Z+ — множество целых неотрицательных чисел.
Для те > 1 пространство решений уравнения (13) бесконечномерно, для выделения из него единственного решения требуются дополнительные условия, которые можно формулировать различными способами (см., например, [14], [31]). Рассмотрим следующий вариант таких дополнительных условий.
Для двух точек ж, у целочисленной решетки 7Р неравенство х ф у означает, что хг ф уг для г = 1, ..., те, а запись х ^ у означает, что найдется щ £ {1, ..., те} такое, что < уго.
Фиксируем мультииндекс /? такой; что
Обозначим Ход = (ж £ 2" : х ^ /3} и сформулируем задачу:
найт,и решение /(ж) уравнения (13), которое для х £ Хо р совпадает с зада,иной функцией <р(х), т.е. удовлетворяет условию
Задачу (13)—(14) будем называть задачей Коши для полиномиального разностного оператора Р(д), а функцию <р(х) — начальными данными этой задачи.
Если /3 ф (тег, ..., 0) и /3 ф (0, ..., тег), то условия (14), по аналогии с задачей Коши для полиномиальных дифференциальных операторов, будем называть условиями типа Рикье.
В первом параграфе приводится легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи (13)—(14) (теорема 5), необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (13)—(14) (теорема 6) и там же показано, что разрешимость определяется только коэффициентами однородной составляющей старшей степени разностного оператора Р(5) (теорема 8). Кроме того, в предполо-
/3 = ттсрф0.
/(ж) = ір(ж),ж £ Ход.