О четырехлистных полиномиальных отображениях С2

• Автор: Домрина, Александра Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с. : ил.

11 V -*3* '
.'А® 1 £ . ,1 “ - »
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Предварительные сведения
§1. Двойственные графы и сплайс-диаграммы
§2. Разветвленные аналитические накрытия и отображения
алгебраических поверхностей
Глава II. Отображения с одной дикритической компонентой
§3. Свойства дикритической компоненты и ее разрещения на
бесконечности
§4. Структура графа Доо
§5. Запрет диаграмм рис. 7(в)-(е)
§6. Запрет диаграмм рис. 7(а), (б)
Глава III. Отображения с двумя дикритическими компонентами
§7. Свойства дикритических компонент и их разрешения на
бесконечности
§8. Вспомогательные утверждения
§9. Структура графа
§10. Запрет диаграмм 2а),б) рис
§11. Запрет диаграмм 1а)-1г) рис
§12. Запрет диаграмм За),б) рис
§13. Запрет диаграмм 4а),б) рис
Глава IV. Пример строго псевдовыпуклой гомеоморф-ной шару области, к которой снаружи подклеивается комплексный диск
§14. Формулировка результата
§15. Построение области
§16. Подклейка диска
Литература

Туреве! Ьу
ВВЕДЕНИЕ
В 1939 г Келлером [15] была сформулирована гипотеза, которую стали называть гипотезой о якобиане. Она состоит в том, что полиномиальное отображение / : С2 —> С2 якобиан которого равен ненулевой константе, то есть
(0.1) det f — const 0,
обратимо, причем обратное отображение также полиномиально. Здесь С2 и С2 — два экземпляра комплексной плоскости. Заметим также, что так как det/' — многочлен, то условие (0.1) эквивалентно локальной обратимости / в каждой точке С2.
Гипотеза о якобиане до сих пор не доказана и не опровергнута. Известные подходы к этой проблеме используют самые разнообразные методы от алгебры и комплексного анализа до комбинаторики и применения вычислительной техники. Обзоры частичных результатов имеются в [24], [12].
Число прообразов общей точки называется топологической степенью отображения. Отображения степени п называют также п-листными. Отображение /, удовлетворяющее условию (0.1), является полиномиально обратимым тогда и только тогда, когда общая точка из С2 имеет один прообраз. Известно, что полиномиальных отображений топологической степени два или три, удовлетворяющих условию (0.1), не существует. Случай степени два элементарен (см. [12, теорема (2.1)]), а для случая степени три это утверждение было доказано С.Ю. Оревковым в [8]. В настоящей диссертации разобран случай степени четыре.
ТЕОРЕМА 1. Не существует локально обратимого полиномиального отображения f : С —f С2 топологической степени 4.
Таким образом, если существует отображение, доставляющее контрпример к гипотезе о якобиане, то топологическая степень этого отображения не меньше пяти.
Для доказательства теоремы 1 мы используем геометрический подход. Он заключается в следующем. С помощью конечного числа сг-процессов на бесконечности можно продолжить / до регулярного рационального отображения F : X —» X неособых компактных комплексных многообразий X и X, содержащих соответственно пространства С2 и С2 в качестве открытых подмножеств, а дополнения к этим пространствам L := X С2 и L := X С2 являются кривыми, состоящими из конечного числа неособых рациональных компонент, пересекающихся трансверсально и не более чем попарно. При этом образ при
Typeset by Д/(5-ТеХ

ВВЕДЕНИЕ
отображении Р каждой неприводимой компоненты кривой Ь либо содержится в Ь, либо является точкой из С2, либо представляет собой кривую, лежащую целиком в С2 за исключением одной точки (см., например, [8, лемма 2.1]). В последнем случае неприводимая компонента называется кривой ветвления или дикритической компонентой отображения Р. Таким образом, мы называем неприводимую компоненту д кривой Ь дикритической, если Р(д) (£ Ь тл Р непостоянно на д. Отметим, что если отображение Т не имеет дикритических компонент, то _1(С2) = С2, т.е. отображение / собственно. Но собственное локально обратимое полиномиальное отображение С2 -4 С2 глобально обратимо (см. [12, теор. (2.1)]), то есть имеет степень 1. Таким образом, если имеется отображение /, являющееся контрпримером к гипотезе о якобиане, то отвечающее ему отображение Р должно иметь по крайней мере одну дикритическую компоненту.
Так как по условию теоремы 1 топологическая степень отображения / равна четырем, то число дикритических компонент отображения Р не больше двух (см. ниже §7).
Глава II посвящена доказательству следующего частного случая теоремы 1.
ТЕОРЕМА 2. Не существует четырехлистного локально обратимого полиномиального отображения / : С2 —> С2, имеющего одну дикритическую компоненту.
В главе III доказано, что не существует четырехлистных отображений Р с двумя дикритическими компонентами. Таким образом, главы II и III содержат полное доказательство теоремы 1.
Приведем схему доказательства теоремы 1. Раздувая многообразия X и X, можно добиться того, что образ каждой дикритической компоненты трансверсально пересекает кривую Ь. Нас будет интересовать поведение отображения И в окрестности ’’бесконечности”, т.е. в окрестности кривой I/.
Сопоставим каждой из кривых Ь, Ь ее двойственный граф, вершины которого отвечают неприводимым компонентам кривой, а ребра — точкам пересечения неприводимых компонент. Вес вершины — индекс самопересечения соответствующей компоненты. Определитель двойственного графа — это определитель взятой со знаком минус матрицы пересечения соответствующей кривой. Мы будем изучать поведение отображения Р в окрестности ’’бесконечности” в терминах двойственных графов кривых Ь, Ь. Нужные нам сведения о графах и отображениях алгебраических поверхностей в терминах графов составляют содержание главы I, носящей вспомогательный характер.
Оказывается, что определители ветвей двойственного графа кривой Ь, выходящих из нодальных (т.е. валентность которых > 3) вершин, выражаются через порядки ветвления отображения Г1 в этих вершинах (см. определение
(2.3)) и через определители ветвей графа Ь, выходящих из нодальных вершин (см. предложение (2.11) и лемму (2.20)). Назовем эти данные комбинаторной структурой отображения Г1. Так как топологическая степень Р ограничена, то могло бы быть только конечное число комбинаторных структур отображения Р. Мы доказываем невозможность каждой из них по отдельности.
Поскольку Ь и Ь получены раздутиями из бесконечной прямой, то опреде-
§6. ЗАПРЕТ ДИАГРАММ РИС. 7(A), (Б)

где И — оставшаяся часть разложения (1.10). Подставив (6.3) в (6.4), получаем 0 = —ad — ady + аdE, значит <% должно делиться на d ф 1, что противоречит
(1.4).
Предположим, что d = 1. Как было показано выше, определитель нижней ветви в вершине V больше 1. Значит, вершина v лежит под гц и dy — det DVl > 1. Из формулы (1.3) для подграфа (гдд) и объемлющего графа L, следует, что
—2 = det Loo det brj, (g) — ady,
значит, det Loo > 0. Из (6.1) и (1.10) получаем
1 = kg — — 1 — а — det Loo,
значит, det Loo = —2 — a < 0. Противоречие. □
ЛЕММА (6.5). Пусть det Loo = —1 или detLoo = —2 и подграф А удовлетворяет условию (6.2). Тогда v А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что v Є А. Из (6.2) следует, что подграф (vg) линеен. Применяя (1.10) к вершине д, получаем kg — —а — det L0с — 1, но kg — 1, значит detLoo = —ос — 2 < —2. Противоречие. □
ЛЕММА (6.6). Графы L вида рис. 7(a),(б) невозможны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а — развилка графа Lто. Тогда подграф (ад) является максимальным подграфом постоянной степени, Deg(ag) = 2, из (2.22) и (3.1) имеем det(ag) — 1. Применяя (2.21) и (3.1а), получаем, что определители двух оставшихся ветвей графа Loo справа от а равны единице.
Рассмотрим рис. 7(а). Пусть La, Da)... те же, что и в (3.1). Обозначим через Lä (соответственно. D) определитель ветви, выходящей из а и лежащей слева от а (соответственно под ä) степени d. Тогда det Lj/ det La = 1/4 (по формуле (2.21)) и detL>~3 = 1, detDa — — 3 (по формулам (2.21), (1.4)).
Получаем
(6.7) detoo - [ад)) = det Lz det L)i3) detL»- > 3,
iaa detLoo (2.12) 4 1-3 1 ~
(6.8) — -
det L
Аналогично можно показать, что (6.7), (6.8) выполнены для рис. 7(6). Пусть А = (ад). Из (6.5) и (6.2) получаем, что подграф А линеен и7 / Д. Поскольку у Є Loo, имеем V Ьгг(д), значит, по лемме (1.8), det Ьгг(д) > 1-
Обозначим а = det(L — L — д) (как в (5.6) и (6.2)). Применяя (1.3) к подграфу А в объемлющем графе L, получаем
(6.9) —1 = det Loo det Ьгг(д) — a det(Loo — [ag)).
Так как a > 1 и detbrj(g) > 1, то (6.9) противоречит (6.7), (6.8). □
Таким образом, все подграфы, изображенные на рис. 7, невозможны. Теорема 2 полностью доказана.