Эллиптические уравнения для мер

• Автор: Шапошников, Станислав Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Априорные оценки

1.1. Оценка соболевской нормы решения эллиптического уравнения

1.2. Неравенство Харнака

1.3. Нижние оценки плотностей решений эллиптических

уравнений для мер

Глава 2. Единственность решений

2.1. Определения и примеры

2.2. Достаточные условия неединственности

2.3. Достаточные условия линейной неэависимости
Глава 3. Строгая положительность решений
3.1. Определения и вспомогательные оценки
3.2. Положительность плотности решения
3.3. Приложения
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Хорошо известно, что инвариантная вероятностная мера /г диффузионного процесса с генератором
,1 <г
Ь := аДж)сфсЦ + Ьг(х)дХ1

при широких условиях на коэффициенты а}3 и Ъг удовлетворяет стационарному уравнению А.Н. Колмогорова
= 0, (1) которое понимается в смысле интегрального тождества
/ Ьий/х — 0 для всех и 6 (2)
Здесь (функции Ьг являются компонентами борелевского векторного поля Ь = (Ьг), агз - бореловские функции. Далее предполагается, что матрица А(х) = (о,13(х)){<а симметрична и положительна. Впервые это уравнение для инвариантных мер появилось в работе А.Н. Колмогорова1, который рассматривал диффузионные процессы в компактном многообразии (современное изложение см. в книге?). В компактном случае всегда существует инвариантная вероятностная мера. В случае всего пространства требуются дополнительные условия. Просто формулируемые достаточные условия весьма общего вида были предложены Р.З. Хасьминским3. В теории эллиптических уравнений решения уравнения (1) для функций (т.о. фактически для плотностей мер /и,) изучались
Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи мат. наук, 1938, т. V, с. 5-41.
2Ватанабэ С., II ка да Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.
3Хасьминский Р.З. Эргодические свойства рекуррентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее нримен., 1900, т. 5, о. 179-196.

под названием „сопряженных решений”, см. работы'1’5. Такие решения существенно отличаются по своим свойствам от решений обычных дивергентных или недивергентпых эллиптических уравнений. Например, даже в одномерном случае с гельдеровыми коэффициентами рюшение может быть лишь гельдеровым и не иметь первой производной. В последние 15 лет уравнения L*// = 0 активно исследовались В.И. Богачевым,
Н.В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, G. Metafune, D. Pallara, A. Rhandi (см. работы6’7,8’9,10’11’12’13,14’15).
Уравнение (1) позволяет исследовать диффузионные процессы с сингулярными коэффициентами. Как было установлено В. Штаннатом13’14, изучение этого уравнения без каких-либо предположений о существовании диффузионного процесса с производящим оператором L оказывается полезным для построения такого процесса. Таким образом, вероятностные решения уравнения L*// = 0 являются исходным пунктом построения и исследования диффузионного процесса, особенно в случаях сингулярных коэффициентов. Кроме того, такие уравнения появляются при
4Sjogren P. On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory. Ark. Mat... 1973, v. 11, p. 153-105.
fiEscauriaza E., Kenig C.E. Area integral estimates for solutions and normalized adjoint solutions to nondivergence form elliptic equations. Ark. Mat., 1993, v. 31, p. 275-290.
6 Bogachev V.T., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Fiinct. Anal., 1995, v. 133, p. 108-223.
7Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant diffusion part. Л. Fnnct. Anal., 1990, v. 138, p. 223-242.
8Богачев В.И., Рёкиер М. Обобщение теоремы Хасъмпнского об инвариантных мерах. Теория вероятн. и ее примем., 2000, т. 45, п 3, с. 303-378.
9Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner М. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 20, n 11-12, p. 2037-2080.
10Bogachev V.I., Rockner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Probab. Theory Relat. Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445-490.
11 Богачев В.И., Рекнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3-30.
l2Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner М. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Pares Appl., 2000, v. 85, n 6, 743-757.
l3Stannat W. (Nonsymmetric) Dirichlet operators on L1: existence, uniqueness and associated Markov processes. Annali Scuola Normale Super, di Pisa Cl. Sci. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99-140.
i4Stannat W. Time-dependent diffusion operators on L1. Л. Evol. Equat., 2004, v. 4, p. 403-495.
15Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant measures.T. Fiinct. Anal., 2005, v. 223, p. 390-424.

Из всех перечисленных условий лишь одно - включение, функции ехр(М|ж|) в L1(Д) - не выражено явно через А и Ъ. Чтобы обеспечить и это условие в терминах коэффициентов применяют следующее утверждение (см. [1], [23], [34]).
Лемма 1.3.1. Предположим,, что вероятностная мера, р, на Rd удовлетворяет, эллиптическому уравнению (1.3.1). Предположим, также, что существует неотрицательная функция. V G С'2(Мсг) такая, что Ип1|х|_,+0О V(x) = +оо. Пусть, кроме mono на,да,па неотрицательная измеримая функция © такая, что для, некоторой положительной константы С и для ц-почти всех х выполнено неравенство
LV(ж) < С —©(ж). (1.3.3)
Тогда
[ Q(x)fj,(dx) < С.(1-3.4)

Доказательство. Заметим, что равенство (1.3.2) выполняется для всякой функции у € C2(R) равной константе вне некоторого компакта. Фиксируем к и определим функции Q, е CQR1) следующим образом: Сk{t) = t при t < к, (k(t) = к + 1 при t > к + 2, 0 < Ck(t) < 1, £(.'(£) < 0. Положим Фг-(ж) = Ck{V(x)). Тогда
L*fc = £k(V)hV + Следовательно,
0= f hq>kd,fj, JRd Jrd
Так как Шп-юоСКО = Ь т0> применяя теорему Фату, получаем требуе-мое. □
Неотрицательную функцию V € C2(Rd), для которой
lim И(ж) = +оо,
|х|—>-foo
называют «функцией Ляпунова».