Локальное описание конечно порожденных подмодулей целых функций ранга 1

• Автор: Волковая, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Славянск-на-Кубани
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение

1. Локальное описание целых функций

1.1. О двойственном переходе

1.2. Критерий обильности

1.3. Интенсивность

1.4. Устойчивость

1.5. Насыщенность подмодулей ранга

1.6. Обильность подмодулей ранга 1

2. Основные оценки

2.1. Определения и обозначения ключевых характеристик

2.2. Промежуточные оценки в терминах ключевых характеристик
2.3. Итоговые оценки в терминах ключевых характеристик
3. Замкнутые подмодули целых функций ранга 1
3.1. Пространство Р[р] Н)
3.2. Подмодули с двумя порождающими
3.3. Подмодули с конечным числом порождающих
3.4. Приложения к спектральному синтезу
Заключение
Список литературы

Введение
Пусть Н — локально выпуклое пространство над полем С, 7Г — линейный непрерывный оператор, действующий в Н. Подпространство IV в пространстве Н называется инвариантным подпространством относительно тг (далее просто инвариантным или 7г-инвариантным), если ттУ С IV. Непустое подпространство
{х е Н : (тт — )пх = 0, п е N1 С Н.
называется корневым подпространством оператора тг, соответствующим собственному значению Л € С. Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора 7Г. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому 7Г-инвариантному подпространству У С Н: возможно ли индуктивное (внутреннее) описание IV, например, в терминах корневых элементов оператора п.
Принять говорить, что замкнутое 7Г-инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора 7Г, лежащих в подпространстве IV, совпадает с этим подпространством. Задачу спектрального синтеза для оператора 7Г можно сформулировать так: при каких условиях замкнутое 7г-инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез.
Любое инвариантное подпространство конечномерного пространства является прямой суммой конечной совокупности корневых подпространств. По теореме ГильбертаЛПмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве, любое инвариантное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетной совокупности корневых подпространств [77]. Так как уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабельном гильбертовом пространстве, имеются такие, которые не имеют ни одного корневого элемента, то дальнейшие исследования по спектральному синтезу направлены, как правило, на изучением конкретных линейных непрерывных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.
Пусть Н(П) — пространство функций, аналитических в выпуклой области

Cl С С, с обычной топологией; тг(г) — целая функция

^°kZk

минимального типа при порядке 1. Предполагаем, что область содержит ноль и функция 7г не совпадает с константой. Символом 7Г(В) обозначим линейный дифференциальный оператор (конечного или бесконечного порядка)

с постоянными коэффициентами. Для всякого е > 0 найдется Се > 0 такое, что |тг(-г)| < С£ехре|г| для всех г из С. Используя эту оценку и неравенства Коши,
ск < Се{к/е) кек. Таким образом, для любого целого неотрицательного к выполняется оценка
Пусть / Є II(Cl), d — компакт в Cl, є = |p(d,dCl) > 0. Для всякого z Є d имеем
где М/(г,є) — максимум модуля функции / на круге радиуса є с центром в точке г. Используя асимптотическую формулу Стирлинга делаем вывод, что ряд
сходится равномерно на компакте d. Из произвольности выбора компакта d С С1 вытекает, что сумма этого ряда является аналитической в области С1 функцией. Это означает, что результат действия тг(1?)/ оператора тт(П) на функцию / € Н(С1) лежит в пространстве Н(С1). Значит, оператор 7г(£>) можно рассматривать как оператор, действующий в пространстве Н(С1). Линейность оператора я(П) очевидна. Убедимся в его непрерывности. Пусть /п —> 0 в топологии Н(С1), О — круговая окрестность начала радиуса е. Конечная совокупность кругов

получаем оценку для коэффициентов ck < г~кАСъ{г) < Сег к ехрег. Функция г —> г~кехрег принимает минимальное значение в точке г — К Значит,

Это означает, что С, бД £ О(А), а
— = С О 7Г, — = Сч О 7Г £ Ол(А).
Следовательно. сд — Д, со = Д € ОДС) и 02^1 — Сич = 0. При этом (д, Сг 3= 0, У “ '•Р
если Щ, и.2 ф 0. □
В силу предложения 1.3.1 подмодули / и 7 являются интенсивными.
Предложение 1.4.5. Главный подмодуль является устойчивым.
Доказательство. Пусть Д —главный подмодуль вРс образующей р, Дз — подмодуль в Р, образованный элементами вида гр, где г £ С [л]. Подмодуль / совпадает с замыканием подмодуля в топологии Р. Пусть го € С и р{го) ф 0. Покажем, что подмодуль 3^ является устойчивым в точке А = к {го). Предположим, что / € 7 и -А- 6 7. Нам нужно показать, что

€ 7. Так как / 6 7, то / = пр, где г = Я о п, Я — многочлен. Так как Ад е 3. то где с = С о г е ОДА)- Значит, / = пр = (л - А) ср. Так

как А2о) Д то Для всех 2 из некоторой окрестности точки го имеет место равенство г(г) — (л(г) — А)с(г), и для всех £ из некоторой окрестности точки А имеет место равенство Р(() = (( — А)С(С)- Это означает, что многочлен Я(С) делится на двучлен ( - А и функция ДД принадлежит кольцу С [л]. Следовательно, ДТ = -ффуР £ Jv>■ Таким образом, доказано, что подмодуль является устойчивым в точке А. В силу предложения 1.4.3 подмодуль Д тоже устойчив в точке А, а в силу предложения 1.4.2 подмодуль Д является устойчивым. Предложение доказано. □
1.4.4. Пусть Д, — подмодули в С[я]-модуле Р. Говорят, что
замкнутый подмодуль I = Д С Р порожден подмодулями если
I совпадает с замыканием множества сумм вида Д + ... + Д, где Д £ Д. Фиксируем точку А 6 С, для которой выполняется условие: для любого к £ {1,.... п] найдутся гк £ А и ик £ Д, такие, что ик(гк) ф 0. Набор а — {ах,..., ап} комплексных функций на слое А называем допустимым, если найдутся такие функции Д е Д, что ДД = а.к, к = 1, ...,п.