О проблеме конформного типа подмногообразий псевдоевклидова пространства

• Автор: Кондрашов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Оглавление
0. Введение
1. НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве
1.1. Пространство Е"+г
1.2. Уравнения непараметрических НСК-поверхностей в Е"+г
1.3. Конформное представление непараметрических НСК-поверхностей
1.4. Теорема Бернштейна для двумерных НСК-поверхностей
2. НСК-графики
2.1. Параболичность конформного типа
2.2. Асимптотическое поведение графиков
3. Системы уравнений типа НСК
3.1. Классы уравнений
3.2. Теорема Бернштейна для Д-поверхностей
3.3. Поведение «на бесконечности»
3.4. Трубки класса Л+
Библиография

Введение
Объектом исследования настоящей диссертации являются двумерные пространственноподобные поверхности нулевой средней кривизны (в дальнейшем НСК-поверхности) в псевдоевклидовом пространстве, а также системы дифференциальных уравнений, описывающие такие поверхности.
Проводимые в диссертации исследования уходят своими корнями в теорию минимальных поверхностей в евклидовом пространстве, которая, с одной стороны, продолжает бурно развиваться в настоящее время по разным направлениям, а с другой — имеет результаты, ставшие классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгре-на, С.Н. Бернштейна, JI. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссер-мана, A.B. Погорелова, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминова, Э. Бомбьери, A.A. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, JT. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужилина, Д. Хофмана и др.
В настоящее время возрос интерес к поверхностям нулевой средней кривизны в псевдоримановых многообразиях, что обусловлено применением разрабатываемого математического аппарата в теории релятивистской струны — одного из активно развивающихся направлений современной физики (см. [2]). Важные результаты по этой тематике, установленные Р. Бартником, JT. Саймоном [40], С. Ченгом и С. Яу [62, 64], К. Экером [44], недавно получили свое развитие в работах В.М. Миклюкова [31], А. Трайбергса, X. Чоя [63], A.A. Клячи-на [12] и В.А. Клячина [14] (см. также работы [17]—[15]).
Минимальные непараметрические поверхности xn+i = /(хi

сываются квазилинейным дифференциальным уравнением
где / = /(хь
В 1915 г. С.Н. Бернштейн доказал свою знаменитую теорему, утверждающую, что при п = 2 любое целое решение / = /(£1,22) уравнения (0.1) является линейной функцией переменных Х,Х2. Эта теорема дала толчок развитию теории минимальных поверхностей в различных направлениях. В 60-е годы в цикле работ Ф.И. Альмгре-на [39], Э. Бомбьери, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти [43], У. Флеминга [49], Дж. Саймонза [51] была решена известная проблема о справедливости аналога теоремы Бернштейна в пространствах размерностью выше трех.
Ведя исследования в этом направлении, разные авторы получали результаты, обобщающие теорему Бернштейна и другие структурные теоремы для минимальных поверхностей. Так, например, в работах Л. Берса [41, 42], В.М. Миклюкова [27, 29], И.С.С. Ниче [55, 56], Р. Ос-сермана [57], Р. Финна [45]—[48] теорема Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей. В статьях Л. Саймона [52], В.М. Кессельмана [11] были получены геометрические обобщения теоремы Бернштейна для поверхностей с квазиконформным гауссовым образом, а в работе В.Г. Ткачева [58] данная теорема была установлена для двумерных р-минимальных поверхностей.
В 1970 г. в работе [61] Калаби предложил рассматривать дифференциальное уравнение
где | У/|2 = /2, + ... + /2п < 1, описывающее максимальные гиперповерхности в пространстве Минковского. Калаби установил справедливость теоремы Бернштейна для уравнения (0.2) при п < 4. Несколько позже, в работе [62], Ченгом и Яу было показано, что для уравнения (0.2), в отличие от уравнения (0.1), теорема Бернштейна справедлива при всех п > 2.
(0.2)

1.3. Конформное представление непараметрических НСК-поверхностей
Ключевым для доказательств основных утверждений настоящей главы результатом (теоремы 1.4.1 — 1-4.4), является следующее обобщение известной теоремы Р. Оссермана [33] на псевдоевклидов случай.
Теорема 1.3.1. Предположим, что целая непараметрически заданная НСК-поверхностъ Л4 в Е"+г = Е"'-2 © Е2 имеет знакоопределенную метрику. Тогда существует линейное преобразование вида
Х1=иъ (1.34)
Х‘2 = ащ + ои2, о > и, такое, что если для к — 1,2
Я(и1,«2) = /к(ииащ + Ъи2), то будут справедливы утверждения:
(a) щ,щ — изотермические координаты на М.;
(b) Д?(гр, «г) — гармонические функции;
(c) если положить и — щ + т2, с = а — 1Ь, р(и) = — г|4ь, то
будет верно равенство

Доказательству теоремы 1.3.1 предпошлем следующий известный факт [33].
Лемма 1.3.1. Пусть в выпуклой области И пространства Л2 переменной х — (х'1, .г'2), задана функция Е(х) = Е{х,хф) класса С2,
(1.35)