Карты на римановых поверхностях и якобианы графов

• Автор: Дерягина, Мадина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Содержание
Введение
1 КРУГОВЫЕ КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
1.1 Основные определения
1.2 Карты общего вида на языке фуксовых групп
1.3 Подсчет подгрупп в свободной группе Гг ранга г
1.4 Общие теоремы
1.5 Структура групп, униформизирующих карты общего вида
1.6 Подсчет числа эпиморфизмов
1.7 Перечисление подгрупп
1.7.1 Подсчет числа положительных и отрицательных подгрупп без кручения
1.7.2 Подсчет числа подгрупп с кручением
1.8 Число круговых карт с п ребрами
1.9 Метод нахождения уравнений и построения графиков плоских круговых

2 КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И РАСКРАСКА В ДВА
ЦВЕТА
2.1 О раскраске круговых карт в два цвета
2.2 Двойственность. Связь двудольных и круговых карт
2.3 Гиперкарты. Теорема о числе гиперкарт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности
2.4 Теорема о числе гиперкарт самосопряженных относительно смены раскраски вершин
3 ЯКОБИАНЫ КОНЕЧНЫХ ГРАФОВ
3.1 Введение в терминологию
3.2 Предварительные сведения
3.3 Вычисление якобиана лестницы Мёбиуса
3.4 Вычисление якобиана призматического графа
4 О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ НА ДИСКРЕТНОМ ТОРЕ

4.1 Постановка задачи
4.2 Решение задачи Дирихле для Тог
4.3 Решение задачи Дирихле для Тогз
Список литературы
Приложение

Введение
Данная работа посвящена исследованию карт на римановых поверхностях и якобианов конечных графов.
Картой называется замкнутая риманова поверхность .5 вместе с вложенным в нее графом (7, таким, что 6' С представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску. Вершины графа представляют собой различные точки на римановой поверхности, ребра — несамопересекающиеся кривые на римановой поверхности, не имеющие общих точек, отличных от вершин. Заметим, что мы рассматриваем только связные графы, так как для несвязного графа появляется ’’грань”, не гомеоморфная диску.
Для карты, имеющей V вершин, Е ребер и і*1 граней, на римановой поверхности рода д выполнена формула Эйлера-Пуанкаре [23]:
V - Е + Е = 2-2д.
Карты на римановой поверхности рода 0, будем называть плоскими.
Две карты (7 и С' на римановой поверхности в эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /і, переводящий (7 в С. Указанный гомеоморфизм будем называть изоморфизмом карт.
ГІолуребрами графа С назовем ребра графа, полученного из (7 барицентрическим подразбиением. В этом случае, каждое ребро (7 состоит из двух полуребер. Валентность вершины — это число полуребер инцидентных ей. Ребро считается инцидентным грани, если оно является частью ее границы. Если ’’обе стороны” ребра принадлежат одной и той же грани, то такое ребро называется перешейком. Считаем, что перешеек инцидентен соответствующей грани дважды. Валентность грани — число инцидентных этой грани ребер.
Карта называется корневой, если одно из ее полуребер рассматривается как корень (то есть отмечено). Изоморфизм между корневыми картами переводит корень в корень.
Систематическое исследование карт было начато в работах Татта в 1960-е годы, в них был заложен фундамент теории карт с точки зрения топологии и

5+(п, 0) = (п + 1)! — Е] к 5+(п — к, 0),

5+(0,0) = 1, соответственно.
Т(т,Н) вычисляется из рекуррентного соотношения:

п га—х. /
Т(т,Н)=В(т,Н)-'£'Е (
Л=0 1—1 ^
7Т) —
. ) Т(г, к) В(т - г, Я - /г), т — г

В(0,0) = 1,Т(0,0) = 0,
1пЬ(х) =
1, г/ж € £ и х ^ 0, О, иначе.
Доказательство. Из теоремы 1.4 следует, что
ЭД = ~ Е (^+(2т,0) |Ерг(^+,^)| + 5-(ш,0) |£фг+(^,^)1 +
Дл 1т—п

+ ^23(т,Н)ЕрД(Кюг21) |),

К+ — положительная подгруппа индекса 2т группы Г, 3+(2т, 0) — число подгрупп Я"+,
— отрицательная без кручения подгруппа индекса т группы Г, 3~ (т, 0) число подгрупп /Г0 ,
Кн — отрицательная с кручением подгруппа индекса т группы Г, имеющая II порождающих второго порядка в представлении (1.3), 5(т, II) — число подгрупп Кц.
Воспользуемся формулами для подсчета 5+(2т, 0), 5_(т, 0), 5,_(т, Н), приведенными в предложениях 1.5,1.6, а также формулами для Ерг(К+, 2))|, ЕрД(Кц , г21), ЕрД(1<н, 72г)1 из предложения 1.2.